2023　高知工科大学　後期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$\tan \theta +{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$5$個の数字$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$を重複を許して使ってできる$4$桁の偶数は何個あるか．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　半径が$3\text{，}$中心角が${\displaystyle \frac{2}{7}}\pi$の扇形の弧の長さを求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$a$を定数とする．$3$次方程式$2x^3+3x^2-12x+a=0$が異なる$2$個の正の解と$1$個の負の解をもつとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$について，$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{10}\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1$とする．このとき，$\left|\overrightarrow{a}\right|$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　初項$2\text{，}$公差$3$の等差数列$\{a_n\}$について，和${\displaystyle \sum _{n=3}^{10}}{a}_n$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$z^3=8i$を満たす複素数$z$のうち，実部が負であるものを求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　定積分${\displaystyle {\int }_1^2}x\log (x+1)\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{24}}+{\displaystyle \frac{2}{x}}$について，次の各問に答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$$\text{（}a>0\text{）}$における接線$l$が原点を通るとき，$l$の方程式と$a$の値を求めよ．

(4)　$a$は(3)で求めた値とし，関数$f(x)$が極小となるときの$x$の値を$b$とする．曲線$y=f(x)$$\text{（}b\leqq x\leqq a\text{）}$の長さを求めよ．

【３】　さいころを何回か投げて，座標平面上の点$\mathrm{P}$を以下のように移動させることを考える．

　点$\mathrm{P}$は原点$(0,0)$を出発点として，さいころを投げるごとに

$2$以下の目が出た場合は$y$軸の正の方向へ出た目の数だけ移動し，

$3$以上の目が出た場合は$x$軸の正の方向へ出た目の数だけ移動する．

例えば，さいころを$3$回投げて

$1$回目に$5$の目，$2$回目に$1$の目，$3$回目に$4$の目

が出たとすると，点$\mathrm{P}$は

$(0,0)\to (5,0)\to (5,1)\to (9,1)$

のように移動して，最後に点$(9,1)$に到達する．このように最後に到達する点を終着点とよぶことにする．このとき，次の各問に答えよ．

　なお，各問の答は既約分数で答えること．

(1)　さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の終着点が点$(6,3)$となる確率を求めよ．

(2)　さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の終着点が直線$y=x$上の点となる確率を求めよ．

(3)　さいころを$4$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の終着点が直線$y=2$上の点となる確率を求めよ．

(4)　さいころを$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の終着点が領域$x\leqq 6$内の点となる確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$a$を$0$でない実数とする．$2$次関数$f(x)=a{x}^2-6ax+a^2$の$1\leqq x\leqq 4$における最大値が$0$であるとき，$a$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$\sqrt{315n}$が自然数となるような最小の自然数$n$を求めよ．

【２】　$a$を定数とし，方程式

$4^x-a\cdot 2^{x+1}-a+12=0$$\cdots \text{(＊)}$

を考える．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$t=2^x$とおく．$t$の満たす方程式を求めよ．

(2)　(1)の$t$についての方程式が正の重解をもつものとする．このとき，$a$の値と(＊)の解$x_0$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$x_0$と${\displaystyle \frac{3}{2}}$の大小関係を決定せよ．

(4)　(2)で求めた$x_0$と${\log }_{3}4$の大小関係を決定せよ．