2023　高知工科大学　総合選抜システム工学群MathJax

【１】　平面上に一直線上にない$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{OA}=\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{OB}=2$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$直線$\mathrm{OD}$と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{E}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{OA}$を直径とする円$R$が点$\mathrm{E}$を通るとき，図を描き，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$と三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S_1$を求めよ．

(3)　(2)のとき，円$R$と線分$\mathrm{OB}$の交点のうち$\mathrm{O}$でない方の点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{EF}$の長さと三角形$\mathrm{OEF}$の面積$S_2$を求めよ．

【２】　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$f(\theta )$を

$f(\theta )=2\cos 4\theta +4{\cos }^2\theta -3$

とする．

　なお，必要に応じて三角関数の加法定理$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \text{，}$および$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$を用いてよい．

(1)　$\cos 2\theta =t$とおくとき，$f(\theta )$を$t$を用いて表せ．

(2)　$f(\theta )$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　$a$を実数の定数とする．$\theta$についての方程式$f(\theta )=a$が異なる$4$個の実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　$3$次関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3-3x^2+20$

とし，$y=f(x)$のグラフを$C$とする．また，$t$を実数とし，$C$上の点$\mathrm{P}$$(t,f(t))$における$C$の接線を$l$とする．

(1)　関数$f(x)$の増減，極値を調べて，グラフをかけ．

(2)　接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　関数$f(x)$が極小値をとる点を$\mathrm{A}$とする．接線$l$が点$\mathrm{A}$を通るとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．ただし$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$とは異なる点とする．

(4)　(3)のとき，点$\mathrm{P}$を通り傾きが${\displaystyle \frac{1}{2}}$の直線を$m$とする．$C$と$m$の交点のうち第$2$象限にある点を$\mathrm{Q}$とするとき，$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．