2023　高知工科大学　総合選抜情報学群数学②MathJax

【１】　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$の$6$個の数から異なる$3$個の数を選ぶ．以下の文章中の空欄$\text{ア}\text{〜}$$\text{コ}$にあてはまる数をそれぞれ答えなさい．

(1)　選んだ$3$個の数を選んだ順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の選び方は全部で$\text{ア}$通りある．このうち，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$がいずれも偶数であるようなものは$\text{イ}$通りあり，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$をそれぞれ$3$で割った余りがいずれも異なるものは$\text{ウ}$通りある．

(2)　選んだ$3$個の数を選んだ順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$として，整数$N$を$N=100\times a+10\times b+c$とする．

　整数$N$が偶数となる$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の選び方は$\text{エ}$通りある．

　整数$N$が$4$の倍数となる$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の選び方は$\text{オ}$通りある．

(3)　選んだ$3$個の数を選んだ順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$として，整数$M$を$M=a\times b\times c$とする．

　整数$M$が偶数となる$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の選び方は$\text{カ}$通りある．

　整数$M$が$3$の倍数となる$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の選び方は$\text{キ}$通りある．

　整数$M$が$4$の倍数となる$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の選び方は$\text{ク}$通りある．

　整数$M$が$6$の倍数となる$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の選び方は$\text{ケ}$通りある．

　整数$M$が$8$の倍数となる$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の選び方は$\text{コ}$通りある．

【２】　$8$枚のカードがあり，$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$7\text{，}$$8$の数がそれぞれ$1$つずつ書かれている．$1$枚のカードを取り出し，そのカードに書かれた数を確認してからもとに戻すという操作を行う．この操作を繰り返す．次の各問に答えなさい．解答にあたっては，解答の過程も記述しなさい．

(1)　$3$の倍数が書かれたカードが$1$回出た時点で操作を終了する．このとき以下のそれぞれの条件を満たすカードの取り出し方は全部で何通りあるか求めなさい．ただし，(c)は$n$を用いた式で答えなさい．

(a)　ちょうど$3$回目に操作が終わる．

(b)　$3$回の操作を行って，操作が終わらない．

(c)　$n$回の操作を行って，操作が終わらない．ただし，$n$は自然数とする．

(2)　$3$の倍数が書かれたカードが$2$回出た時点で操作を終了する．このとき以下のそれぞれの条件を満たすカードの取り出し方は全部で何通りあるか求めなさい．ただし，(c)は$n$を用いた式で答えなさい．

(a)　ちょうど$3$回目に操作が終わる．

(b)　$3$回の操作を行って，操作が終わらない．

(c)　$n$回の操作を行って，操作が終わらない．ただし，$n$は$2$以上の自然数とする．

【３】　$8$枚のカードがあり，$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$7\text{，}$$8$の数がそれぞれ$1$つずつ書かれている．$1$枚のカードを取り出し，そのカードに書かれた数を確認してからもとに戻すという操作を行う．この操作を繰り返し，確認した数の和が$3$の倍数になった時点で操作を終了する．ただし，$1$回目に$3$の倍数が書かれたカードが出たときは，その時点で操作を終了する．次の各問に答えなさい．解答にあたっては，解答の過程も記述しなさい．

(1)　ちょうど$2$回目に操作が終わるようなカードの取り出し方は全部で何通りあるか．

(2)　ちょうど$8$回目に操作が終わるようなカードの取り出し方は全部で何通りあるか．必要があれば，以下の表を参考にしなさい．