2023　九州歯科大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)\text{，}$$g(x)$はともに実数全体で定義された実数値をとる関数とし，$a$を実数とする．$f(x)$と$g(x)$が$x=a$で微分可能とするとき，次の空欄(ア)〜(ウ)を，$f(a)\text{，}$$g(a)\text{，}$$f^{\prime }(a)\text{，}$$g^{\prime }(a)$のうち必要なものを用いて埋めよ．

$f(x)+g(x)\text{，}$$f(x)g(x)\text{，}$${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$（ただし$g(a)\ne 0\text{）}$いずれも$x=a$で微分可能で，

${(f+g)}^{\prime }(a)=\text{( ア )}\text{，}$${(fg)}^{\prime }(a)=\text{( イ )}$

${\left({\displaystyle \frac{f}{g}}\right)}^{\prime }(a)=\text{( ウ )}$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　白玉$5$個，黒玉$2$個の$7$個の玉を左から右へ横$1$列に並べるとき，次の問いに答えよ．

$\text{①}$　この$7$個の玉の並べ方は全部で何通りあるか．

$\text{②}$　左から右へ横$1$列の玉の並びに対して，$1$番左側にある玉を$1\text{，}$左から$2$番目にある玉を$2\text{，}$左から$3$番目にある玉を$3\text{，}\cdots \text{，}$左から$7$番目にある玉を$7$と番号をつける．このように定めた番号について，$2$つある黒玉の番号の和を$N$とする．$N=9$となる並べ方は何通りあるか．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{2}+\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{AC}=2\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，次の問いに答えよ．

$\text{①}$　次の式を計算せよ．

${(\sqrt{6}-\sqrt{2})}^2$

$\text{②}$　$\mathrm{BC}$を求めよ．

【２】　関数$f_1(x)$を

$f_1(x)=x^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{x}{2}}$$\text{（}x>0\text{）}$

とし，$2$以上の自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を

$f_n(x)=x^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

とする．ただし，$e$は自然対数の底を表し，$0^0=1$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$y=\sqrt{x}$とおくことにより，$0<a<b$となるすべての実数$a\text{，}$$b$に対して

${\displaystyle {\int }_{\sqrt{a}}^{\sqrt{b}}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{e}^{-\frac{y^2}{2}}\mathit{dy}={\displaystyle {\int }_a^b}g(x)\mathit{dx}$

を満たす区間$(0,\infty )$で連続な関数$g(x)$を求めよ．さらに，$x>0$に対して，$g(x)$を，$f_1(x)$を用いて表せ．

(2)　実数$c>0$に対して，

${\displaystyle {\int }_0^c}{f}_4(x)\mathit{dx}$

を計算せよ．また，

$\underset{c\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^c}{f}_4(x)\mathit{dx}$

を求めよ．ただし，実数$s>0$のとき$e^x>s^2$であることを証明なしに用いてよい．

(3)　自然数$m$に対して，関数$h_m(x)$を

$h_m(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{f}_4(x-t)f_{2m}(t)\mathit{dt}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

とおく．$h_m(x)$を計算せよ．さらに，$h_m(x)$を，$f_{2m+4}(x)$と$m$を用いて表せ．

【３】　実数$x$に対して，関数$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{（}x\text{が無理数のとき）}\\ -1& \text{（}x\text{が有理数のとき）}\end{array}$

と定める．また，数列$\{a_n\}$を

$a_n=[\sqrt{2}\times {10}^n]$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．ただし，$[t]$はガウス記号であり，実数$t$に対し$t-1<[t]\leqq t$を満たす整数とする．さらに，$\sqrt{2}$が無理数であることを証明なしに用いてよい．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1$の値を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，$0\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{{10}^n}}\text{，}$$\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{a_n}{{10}^n}}$の間の大小関係を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{{10}^n}}$と$\underset{n\to \infty }{\lim }f\left({\displaystyle \frac{a_n}{{10}^n}}\right)$の値をそれぞれ求めよ．さらに，次の(カ)，(キ)のうちから正しいものを$1$つ選べ．

(カ)　$f(x)$は$x=\sqrt{2}$で連続である

(キ)　$f(x)$は$x=\sqrt{2}$で連続でない

(4)　自然数$n$に対して，

$S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{2\times {10}^n-1}}\max \{f(x)|{\displaystyle \frac{k}{{10}^n}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{k+1}{{10}^n}}\}\times {\displaystyle \frac{1}{{10}^n}}\text{，}$

$s_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{2\times {10}^n-1}}\min \{f(x)|{\displaystyle \frac{k}{{10}^n}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{k+1}{{10}^n}}\}\times {\displaystyle \frac{1}{{10}^n}}$

とする．ただし，$a<b$を満たす実数$a\text{，}$$b$に対し，$\max \{f(x)|a\leqq x\leqq b\}$は閉区間$[a,b]$における$f(x)$の最大値を表し，$\min \{f(x)|a\leqq x\leqq b\}$は閉区間$[a,b]$における$f(x)$の最小値を表す．このとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$と極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n$をそれぞれ求めよ．