2023　北九州市立大学　後期

【１】　以下の問いに答えよ．空欄に入れるのに適する数値または数式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$a$を正の定数とするとき，放物線$C\text{：}y=x^2+(4a+2)x+4a+3$が，異なる$2$点で$x$軸と交わる条件は$a>\text{ア}$である．

　この条件を満たすとき，$C$と$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とすると，線分$\mathrm{AB}$の長さは$\text{イ}$となる．

　$C$の頂点を$\mathrm{P}$とするとき，三角形$\mathrm{APB}$の外接円の中心の座標は$(\text{ウ},\text{エ})$であり，半径は$\text{オ}$である．

　さらに，$a=\text{カ}$のとき，三角形$\mathrm{APB}$は正三角形である．

【１】　以下の問いに答えよ．空欄に入れるのに適する数値または数式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　箱の中に，$1$から$6$までの数字が書いてあるカードが，$2$枚ずつ合計$12$枚ある．この中から$3$枚のカードを同時に取り出す．取り出したカードの数字について考える．

(1)　$3$枚の数字の和が$4$である確率は$\text{キ}$である．

(2)　$3$枚の数字の和が$5$である確率は$\text{ク}$である．

(3)　$3$枚の数字のうち最も大きい数が$2$である確率は$\text{ケ}$である．

(4)　$3$枚の数字のうち最も大きい数が$4$である確率は$\text{コ}$である．

(5)　$3$枚の数字の積が偶数である確率は$\text{サ}$である．

【２】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$\mathrm{A}$$(2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1)$が与えられており，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．また，$2$つのベクトル$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$を$\overrightarrow{p}=(1,1)\text{，}$$\overrightarrow{q}=(-1,1)$により定める．$s\text{，}$$t\text{，}$$u\text{，}$$v$を実数とする．

　以下の問いに答えよ．問１については，空欄に入れるのに適する数値または数式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問２と問３については，答えを導く過程も記すこと．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+s\overrightarrow{p}$で与えられる点$\mathrm{C}$を考える．このとき，$s$を用いて$\overrightarrow{c}=(\text{タ},\text{チ})$となる．ここで，$\overrightarrow{e}=(1,0)$と$\overrightarrow{c}$との内積が$\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{c}=3$であるとすると，$s=\text{ツ}$であり，$\mathrm{▵OAC}$の面積は$\text{テ}$となる．さらにこのとき，四角形$\mathrm{OACB}$の面積は$\text{ト}$となる．

問２　$t>0$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{q}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+2t\overrightarrow{q}$で与えられる点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$に対し，四角形$\mathrm{BDFE}$の面積が$6$であるとする．このときの$t$を求めよ．

問３　点$\mathrm{G}$を$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=u\overrightarrow{p}+v\overrightarrow{q}$により定める．点$\mathrm{G}$が$\mathrm{▵OAB}$の周および内部にあるときに$u\text{，}$$v$が満たすべき条件を求めよ．

【３】　円$C\text{：}{x}^2+y^2=r^2$$\text{（}r>0\text{）}$があり，点$\mathrm{A}$$(-r,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(r,0)\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は円$C$上にある．点$\mathrm{P}$および$\mathrm{Q}$はそれぞれ第$1$象限および第$2$象限にあり，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$は平行である．$\mathrm{\angle POB}=\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．四角形$\mathrm{ABPQ}$の面積を$S$とする．以下の問いに答えよ．問１，問２，問３については，空欄に入れるのに適する数式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問４については，答えを導く過程も記すこと．

問１　点$\mathrm{P}$の座標は$\theta$を用いると$(\text{ナ},\text{ニ})$である．

　また，点$\mathrm{Q}$の座標は$\theta$を用いると$(\text{ヌ},\text{ネ})$である．

問２　面積$S$は$\text{ノ}$である．

問３　$S$を$\theta$で微分すると，

${\displaystyle \frac{\mathit{dS}}{\mathit{d\theta }}}=\text{ハ}$

となる．

問４　面積$S$の増減を調べ，極値を求めよ．