2023　慶応義塾大学　看護医療学部

【１】(1)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\text{(ア)}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\text{(イ)}$である．

【１】(2)　$\mathrm{kangogaku}$の$9$文字すべてを並べてできる文字列の種類は全部で$\text{(ウ)}$通りであり，このうち子音と母音が交互に並ぶものは$\text{(エ)}$通りである．

【１】(3)　$2$次方程式$x^2+x+3=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}+{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=\text{(オ)}$であり，${\displaystyle \frac{{\beta }^2}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{\beta }}=\text{(カ)}$である．

【１】(4)　$({\log }_{2}9)({\log }_{3}x)-{\log }_{2}5=2$を解くと$x=\text{(キ)}$である．

【１】(5)　整式$P(x)$を

$P(x)={\displaystyle \sum _{n=1}^{20}}n{x}^n$$=20x^{20}+19x^{19}+18x^{18}$$+\cdots +2x^2+x$

と定める．このとき，$P(x)$を$x-1$で割ったときの余りは$\text{(ク)}$である．また，$P(x)$を$x^2-1$で割ったときの余りは$\text{(ケ)}$である．

【２】(1)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$\sqrt{3}\sin x+\cos x=\sqrt{2}$を解くと$x=\text{(コ)}$である．

【２】(2)　$n$を自然数とする．$\sqrt{{\displaystyle \frac{200}{\sqrt{n}}}}$が自然数となるような$n$をすべて求めると$n=\text{(サ)}$である．

【２】(3)　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=\sqrt{{a_n}^2+1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(ⅰ)　$a_2=\text{(シ)}\text{，}$$a_3=\text{(ス)}$であり，一般項$a_n$を推定すると$a_n=\text{(セ)}$である．

(ⅱ)　一般項$a_n$が$a_n=\text{(セ)}$であることの数学的帰納法による証明を解答欄(3)(ⅱ)に記述しなさい．

【３】　半径$R$の円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において

$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=2\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=60\mathrm{°}$

であるとき，$\mathrm{\angle ADC}$の大きさは$\mathrm{\angle ADC}=\text{(ソ)}$であり，$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{AD}\text{，}$$R$の長さはそれぞれ$\mathrm{AC}=\text{(タ)}\text{，}$$\mathrm{AD}=\text{(チ)}\text{，}$$R=\text{(ツ)}$である．また，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\text{(テ)}$である．さらに，$\theta =\mathrm{\angle DAB}$とするとき，$\sin \theta =\text{(ト)}$であり，$\mathrm{BD}$の長さは$\mathrm{BD}=\text{(ナ)}$である．

【４】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2-x-3\left|x\right|)$

で定める．以下に答えなさい．

(1)　$y=f(x)$のグラフを解答欄(1)にかきなさい．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$$(-3,f(-3))$を通り，点$\mathrm{A}$における接線に垂直な直線$l$の方程式は$y=\text{(ニ)}$である．また，曲線$y=f(x)$と直線$l$は$2$つの共有点をもつが，点$\mathrm{A}$とは異なる共有点の座標は$\text{(ヌ)}$である．さらに，曲線$y=f(x)$と直線$l$で囲まれた図形の面積は$\text{(ネ)}$である．

(3)　連立不等式

$y\geqq f(x)\text{，}$$y\leqq f(-3)$

の表す領域を$D$とする．点$(x,y)$がこの領域$D$を動くとき，$x+y$は$(x,y)=\text{(ノ)}$のとき最大値$\text{(ハ)}$をとり，$(x,y)=\text{(ヒ)}$のとき最小値$\text{(フ)}$をとる．

【５】　右の図は，ある小学校の$15$人の女子児童の$4$年生の$4$月に計測した身長を横軸に，$6$年生の$4$月に計測した身長を縦軸にとった散布図である．

(1)　次の図の(A)から(F)のうち，この$15$人の女子児童の$4$年生のときの身長と$6$年生のときの身長の箱ひげ図として適切なものは$\text{(ヘ)}$である．

(2)　この$15$人の女子児童の$4$年生のときと$6$年生のときの身長をそれぞれ$x_i$と$y_i$で表す$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$15\text{）．}$各児童の$6$年生のときの身長とそれらの平均値の差$y_i-\bar{y}$を$4$年生のときの身長とそれらの平均値との差$x_i-\bar{x}$の$a$倍で近似することを考える．ただし，$a$は実数とする．近似の評価基準$S(a)$を近似誤差の$2$乗の$15$人全員分の和，つまり，

$S(a)={\displaystyle \sum _{i=1}^{15}}{\{y_i-\bar{y}-a(x_i-\bar{x})\}}^2$

としたとき，$S(a)$は，$4$年生のときの身長の分散${s_x}^2\text{，}$$6$年生のときの身長の分散${s_y}^2\text{，}$$4$年生のときの身長と$6$年生のときの身長の共分散$s_{xy}$を用いて，$a$の$2$次関数として

$S(a)=\text{(ホ)}{a}^2-\text{(マ)}a+15{s_y}^2$

と表すことができる．よって$S(a)$を最小にする$a$は$a=\text{(ミ)}$である．$S(a)$の最小値は，女子児童の$4$年生のときと$6$年生のときの身長の相関係数$r$と${s_y}^2$を用いて$\text{(ム)}$と表せる．

　また，上の散布図で示した女子児童の計測値で計算すると

${s_x}^2=29.00\text{，}$${s_y}^2=42.65\text{，}$$s_{xy}=31.69$

であった．これらを用いて$S(a)$を最小にする$a$を計算し，小数第$4$位を四捨五入すると$\text{(メ)}$である．