2023　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】(1)　$f(x)=x^4$とする．$f(x)$の$x=a$における微分係数を，定義に従って求めなさい．計算過程も記述しなさい．

【１】(2)　$g(x)=\left|x\right|\sqrt{x^2+1}$とする．$g(x)$が$x=0$で微分可能でないことを証明しなさい．

【１】(3)　閉区間$[0,1]$上で定義された連続関数$h(x)$が，開区間$(0,1)$で微分可能であり，この区間で常に$h^{\prime }(x)<0$であるとする．このとき，$h(x)$が区間$[0,1]$で減少することを，平均値の定理を用いて証明しなさい．

【２】　$k$を正の実数とし，空間内に点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(4k,-4k,-4\sqrt{2}k)\text{，}$$\mathrm{B}$$(7,5,-\sqrt{2})$をとる．点$\mathrm{C}$は$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を含む平面上の点であり，$\mathrm{OA}=4\mathrm{BC}$で，四角形$\mathrm{OACB}$は$\mathrm{OA}$を底辺とする台形であるとする．

(1)　$\cos \mathrm{\angle AOB}=\text{(ア)}$である．台形$\mathrm{OACB}$の面積を$k$を用いて表すと$\text{(イ)}$となる．また，線分$\mathrm{AC}$の長さを$k$を用いて表すと$\text{(ウ)}$となる．

(2)　台形$\mathrm{OACB}$が円に内接するとき，$k=\text{(エ)}$である．

(3)　$k=\text{(エ)}$であるとし，直線$\mathrm{OB}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{▵OBP}$と$\mathrm{▵ACP}$の面積が等しい，という条件を満たす空間内の点$\mathrm{P}$全体は，点$\mathrm{D}$を通る$2$つの平面上の点全体から点$\mathrm{D}$を除いたものとなる．これら$2$つの平面のうち，線分$\mathrm{OA}$と交わらないものを$\alpha$とする．点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の長さは$\text{(オ)}$である．

【３】　何も入っていない$2$つの袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がある．いま，「硬貨を$1$枚投げて表が出たら袋$\mathrm{A}\text{，}$裏が出たら袋$\mathrm{B}$を選び，以下のルールに従って選んだ袋の中に玉を入れる」という操作を繰り返す．

たとえば，上の操作を$3$回行ったとき，硬貨が順に表，表，裏と出たとすると，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$$2$つの袋の中の玉の数は次のように変化する．

$\begin{array}{c}\mathrm{A}\text{：}0\text{個}\\ \mathrm{B}\text{：}0\text{個}\end{array}$$⟶\begin{array}{c}\mathrm{A}\text{：}1\text{個}\\ \mathrm{B}\text{：}0\text{個}\end{array}$$⟶\begin{array}{c}\mathrm{A}\text{：}2\text{個}\\ \mathrm{B}\text{：}0\text{個}\end{array}⟶\begin{array}{c}\mathrm{A}\text{：}2\text{個}\\ \mathrm{B}\text{：}2\text{個}\end{array}$

(1)　$4$回目の操作を終えたとき，袋$\mathrm{A}$の中に$3$個以上の玉が入っている確率は$\text{(カ)}$である．また，$4$回目の操作を終えた時点で袋$\mathrm{A}$の中に$3$個以上の玉が入っているという条件の下で，$7$回目の操作を終えたとき袋$\mathrm{B}$の中に入っている玉の数が$3$個以下である条件付き確率は$\text{(キ)}$である．

(2)　$n$回目の操作を終えたとき，袋$\mathrm{A}$の中に入っている玉の数のほうが，袋$\mathrm{B}$の中に入っている玉の数より多い確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表すと$p_{n+1}=\text{(ク)}$となり，これより$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\text{(ケ)}$となる．

(3)　$n$回目$\text{（}n\geqq 4\text{）}$の操作を終えたとき，袋$\mathrm{A}$の中に$n-1$個以上の玉が入っている確率は$\text{(コ)}$であり，$n-2$個以上の玉が入っている確率は$\text{(サ)}$である．

【４】(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において常に不等式$\left|b\right|\leqq |b+1-b\cos x|$が成り立つような実数$b$の値の範囲は$\text{(シ)}\leqq b\leqq \text{(ス)}$である．

　以下，$b$を$\text{(シ)}\leqq b\leqq \text{(ス)}$を満たす$0$でない実数とし，数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin x{(\cos x)}^{n-1}}{{(b+1-b\cos x)}^n}}\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義する．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}^n{a}_n=0$が成り立つことを証明しなさい．

(3)　$a_1=\text{(セ)}$である．

(4)　$a_{n+1}$を$a_n\text{，}$$n\text{，}$$b$を用いて表すと，$a_{n+1}=\text{(ソ)}$となる．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\{{\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2}}-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 2^2}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 2^3}}-\cdots +{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n+1}}{n\cdot 2^n}}\}=\text{(タ)}$である．

【５】(1)　$\alpha$を$\pm 1$ではない複素数とする．複素数平面上で$\left|{\displaystyle \frac{\alpha z+1}{z+\alpha }}\right|=2$を満たす点$z$全体からなる図形を$C$とする．$C$は$\alpha$が$\text{(チ)}$を満たすとき直線となり，$\text{(チ)}$を満たさないとき円となる．$\alpha$が$\text{(チ)}$を満たさないとき，円$C$の中心を$\alpha$を用いて表すと$\text{(ツ)}$となる．$\alpha$が$\text{(チ)}$を満たすとき，直線$C$上の点$z$のうち，その絶対値が最小となるものを$\alpha$を用いて表すと$\text{(テ)}$となる．

【５】(2)　$f(x)=x-{\displaystyle \frac{1}{x}}$とする．自然数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の組で，$a\leqq b\leqq c$かつ$f(a)+f(b)+f(c)$が自然数であるものの総数は，$\text{(ト)}$個である．その中で$f(a)+f(b)+f(c)$の値が最大になるのは$(a,b,c)=\text{(ナ)}$のときである．