2023　慶応義塾大学　医学部

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし空欄(あ)，(い)，(う)には既約分数で表される有理数を記入すること．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{BC}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，等式

$\text{(あ)}{\mathrm{AB}}^2+\text{(い)}{\mathrm{AC}}^2$$={\mathrm{AD}}^2+\text{(う)}{\mathrm{BD}}^2$

が成り立つ．

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし空欄(あ)，(い)，(う)には既約分数で表される有理数を記入すること．

(2)　式$4z^2+4z-\sqrt{3}i=0$を満たす複素数$z$は$2$つある．それらを$\alpha \text{，}$$\beta$とする．ただし$i$は虚数単位である．$\alpha \text{，}$$\beta$に対応する複素数平面上の点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とすると，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$\text{(え)}$であり，$\mathrm{PQ}$の中点の座標は$(\text{(お)},\text{(か)})$である．また，線分$\mathrm{PQ}$の垂直二等分線の傾きは$\text{(き)}$である．

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし空欄(あ)，(い)，(う)には既約分数で表される有理数を記入すること．

(3)　曲線$y=x\log (x^2+1)$の$x\geqq 0$の部分を$C$とすると，点$(1,\log 2)$における$C$の接線$l$の方程式は$y=\text{(く)}$である．また，曲線$C$と直線$l\text{，}$および$y$軸で囲まれた図形の面積は$\text{(け)}$である．

【２】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

　$n$を自然数とする．$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君の$2$人が以下の試合$\mathrm{T}$を$n$セット行い，それぞれが得点をためていくとする．

　$\mathrm{A}$君が$1$セット目から$n$セット目までに得た点の合計を$a_n$とし，$\mathrm{B}$君が$1$セット目から$n$セット目までに得た点の合計を$b_n$とする．

(1)　$n=1$とする．$a_1=2$である確率は$\text{(あ)}$であり，$a_1=1$である確率は$\text{(い)}$である．

(2)　$n\geqq 4$とする．試合$\mathrm{T}$を$n$セット行ううち，$\mathrm{A}$君が$2$点を得るのがちょうど$2$セット，かつ$1$点を得るのがちょうど$2$セットである確率は${\displaystyle \frac{\text{(う)}}{\text{(え)}}}$である．

(3)　$n\geqq 2$とする．$a_n=n+2$かつ$b_n=0$である確率は${\displaystyle \frac{\text{(お)}}{\text{(か)}}}$である．

(4)　$a_n=2$である確率は${\displaystyle \frac{\text{(き)}}{\text{(く)}}}$である．

(5)　$n=4$とする．$a_4>b_4$である確率は${\displaystyle \frac{\text{(け)}}{\text{(こ)}}}$である．

【３】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

　座標平面上の曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$$\text{（}x\ne 0\text{）}$を$C$とする．$a_1$を正の実数とし，点${\mathrm{A}}_1$$(a_1,{\displaystyle \frac{1}{{a_1}^2}})$における$C$の接線を$l_1$とする．$l_1$と$C$の交点で${\mathrm{A}}_1$と異なるものを${\mathrm{A}}_2$$(a_2,{\displaystyle \frac{1}{{a_2}^2}})$とする．次に，点${\mathrm{A}}_2$におけるCの接線を$l_2$とし，$l_2$と$C$の交点で${\mathrm{A}}_2$と異なるものを${\mathrm{A}}_3$$(a_3,{\displaystyle \frac{1}{{a_3}^2}})$とする．以下同様にして$n=3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}\cdots$に対して，${\mathrm{A}}_n$$(a_n,{\displaystyle \frac{1}{{a_n}^2}})$における$C$の接線を$l_n$とし，$l_n$と$C$の交点で${\mathrm{A}}_n$と異なるものを${\mathrm{A}}_{n+1}$$(a_{n+1},{\displaystyle \frac{1}{{a_{n+1}}^2}})$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{a_2}{a_1}}=\text{(あ)}$であり，${\displaystyle \frac{a_3}{a_1}}=\text{(い)}$である．

(2)　$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=\text{(う)}$であり，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の和$T$を$a_1$を用いて表すと$T=\text{(え)}$である．

(3)　$a_1$を正の実数すべてにわたって動かすとき，三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$の重心が描く軌跡の方程式を$y=f(x)$の形で求めると，$f(x)=\text{(お)}$となる．

(4)　三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$が鋭角三角形になるための条件は$\text{(か)}<a_1<\text{(き)}$である．

(5)　$x$軸上に$2$点${\mathrm{A}}_1^{\prime }$$(a_1,0)\text{，}$${\mathrm{A}}_2^{\prime }$$(a_2,0)$をとり，台形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_2^{\prime }{\mathrm{A}}_1^{\prime }$の面積を$S_1$とする．また，点${\mathrm{A}}_1$から点${\mathrm{A}}_3$にいたる曲線$C$の部分，および線分${\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_2$と${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1:S_2=\text{(く)}:\text{(け)}$である．ただし$\text{(く)}$と$\text{(け)}$は互いに素な自然数である．

【４】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

　座標平面において原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とし，$C_1$の内部にある第$1$象限の点$\mathrm{P}$の極座標を$(r,\theta )$とする．さらに点$\mathrm{P}$を中心とする円$C_2$が$C_1$上の点$\mathrm{Q}$において$C_1$に内接し，$x$軸上の点$\mathrm{R}$において$x$軸に接しているとする．また，極座標が$(1,\pi )$である$C_1$上の点を$\mathrm{A}$とし，直線$\mathrm{AQ}$の$y$切片を$t$とする．

(1)　$r$を$\theta$の式で表すと$r=\text{(あ)}$となり，$t$の式で表すと$r=\text{(い)}$となる．

(2)　円$C_2$と同じ半径をもち，$x$軸に関して円$C_2$と対称な位置にある円${C_2}^{\prime }$の中心を${\mathrm{P}}^{\prime }$とする．三角形$\mathrm{OP}{\mathrm{P}}^{\prime }$の面積は$\theta =\text{(う)}$のとき最大値$\text{(え)}$をとる．条件$\theta =\text{(う)}$は条件$t=\text{(お)}$と同値である．

(3)　円$C_1$に内接し，円$C_2$と${C_2}^{\prime }$の両方に外接する円のうち大きい方を$C_3$とする．円$C_3$の半径$b$を$t$の式で表すと$b=\text{(か)}$となる．

(4)　$3$つの円$C_2\text{，}$${C_2}^{\prime }\text{，}$$C_3$の周の長さの和は$\theta =\text{(き)}$のとき最大値$\text{(く)}$をとる．