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【2】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.
を自然数とする.君と君の人が以下の試合をセット行い,それぞれが得点をためていくとする.
試合
人で腕ずもうを繰り返し行う.毎回,君,君のどちらも勝つ確率はずつである.どちらかが先に勝したら,腕ずもうを行うのをやめる.勝敗の者は点を,勝敗の者は点を得る.勝しなかった者の得点は点である.
君がセット目からセット目までに得た点の合計をとし,君がセット目からセット目までに得た点の合計をとする.
(1) とする.である確率はであり,である確率はである.
(2) とする.試合をセット行ううち,君が点を得るのがちょうどセット,かつ点を得るのがちょうどセットである確率はである.
(3) とする.かつである確率はである.
(4) である確率はである.
(5) とする.である確率はである.
【3】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.
座標平面上の曲線をとする.を正の実数とし,点におけるの接線をとする.との交点でと異なるものをとする.次に,点におけるCの接線をとし,との交点でと異なるものをとする.以下同様にしてに対して,におけるの接線をとし,との交点でと異なるものをとする.
(1) であり,である.
(2) をを用いて表すとであり,無限級数の和をを用いて表すとである.
(3) を正の実数すべてにわたって動かすとき,三角形の重心が描く軌跡の方程式をの形で求めると,となる.
(4) 三角形が鋭角三角形になるための条件はである.
(5) 軸上に点をとり,台形の面積をとする.また,点から点にいたる曲線の部分,および線分とで囲まれた図形の面積をとする.このとき,である.ただしとは互いに素な自然数である.
【4】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.
座標平面において原点を中心とする半径の円をとし,の内部にある第象限の点の極座標をとする.さらに点を中心とする円が上の点においてに内接し,軸上の点において軸に接しているとする.また,極座標がである上の点をとし,直線の切片をとする.
(1) をの式で表すととなり,の式で表すととなる.
(2) 円と同じ半径をもち,軸に関して円と対称な位置にある円の中心をとする.三角形の面積はのとき最大値をとる.条件は条件と同値である.
(3) 円に内接し,円との両方に外接する円のうち大きい方をとする.円の半径をの式で表すととなる.
(4) つの円の周の長さの和はのとき最大値をとる.