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【1】 次のに適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついたの中に記入せよ.
(2) を虚数単位とする.の乗根のうち虚部が正のものをとすると,の虚部はである.次に,複素数はつの条件を同時に満たすとする.このとき,複素数平面上の点を頂点とするを考えると,の大きさはの大きさはの外接円の半径はである.
【3】 点を原点とする空間内に,を中心とする半径の球面と点がある.直線が球面とただつの共有点をもつとき,直線は球面に接するという.がともに整数であるとき,点を格子点とよぶ.次の問いに答えよ.
(1) 平面上の点を考え,実数と直線上の点に対して,とする.このとき,をを用いて表せ.また,直線が球面に接するように点が平面上を動くとき,平面における点の軌跡の方程式をを用いて表せ.
(2) 点と異なる点および平面上の点を考える.直線が球面に接するように点が平面上を動くとき,点の軌跡が(1)の軌跡と一致するような点をつ求めよ.
(3) (1)の軌跡上の格子点をすべて求めよ.
(4) 点をつの頂点とする四面体が次の条(ⅰ)〜(ⅲ)を同時に満たしている.このとき,頂点の組をつ求めよ.
(ⅰ) 頂点はすべて格子点である.
(ⅱ) どのつの頂点を結ぶ直線も球面と接する.
(ⅲ) すべての辺の長さは整数である.