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2023-14991-0201
2023 関西大学 全学日程理系2月2日実施
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f⁡ (x) =cos ⁡x3+ 2⁢sin⁡x ( 0≦x≦2 ⁢π ) に対して
F⁡( x)= ∫0 xf⁡ (t) ⁢dt ( 0≦x≦2 ⁢π )
とおく.次の問いに答えよ.
(1) F⁡( x) を求めよ.さらに. F⁡( x) の最小値とそのときの x の値を求めよ.
(2) f⁡( x) の最大値を求めよ.ただし,最大値を与える x の値は求めなくてよい.
(3) f⁡( x) が最大となる x の値を α とする.このとき,極限
limn →∞ α n⁢ ∑ k=1 nf⁡ ( kn ⁢α )⁢F⁡ ( kn⁢ α)
を求めよ.
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【2】 次の をうめよ.ただし, log10⁡ 2=0.3010 とし, i を虚数単位とする.
x4+ 4=0 の解のうち実部と虚部がともに正であるものを α とおくと, α= ① である.このとき, |α n|> 10100 となる最小の自然数 n は ② である. αn が実数であるための必要十分条件は n が ③ の倍数であることであり,さらに, αn >10100 となる自然数 n のうち最小のものは ④ である.
また,自然数 n について α -n の実部を a n とおく.このとき,自然数 k について a 4⁢k- 3= ⑤⁢ ( ⑥ ) k であり,無限級数 ∑k= 1∞ a4⁢k -3 の和は ⑦ である.
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【3】 すべての角の大きさが 120⁢ ° である六角形 ABCDEF において, AB=CD= DE=AF= 1 , BC=EF= 2 であるとする.また,線分 BF の中点を P とし, 2 線分 AC , BE の交点を Q とする. AB→ =a→ , AF→ =b→ とするとき,次の問いに答えよ.
(1) ベクトル AP → , AC→ を a → , b→ を用いて表せ.
(2) ベクトル AQ → を a → , b→ を用いて表せ.
(3) 内積 a →⋅ b→ を求めよ.さらに点 Q を通り,直線 AC に垂直な直線を引き,辺 EF との交点を R とする.内積 FR →⋅ AQ→ を求めよ.
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2023 関西大学 2月2日実施
【4】 次の をうめよ.
(1) 複素数 α , β , γ が x についての恒等式 ( x-α) ⁢(x- β)⁢ (x-γ ) =x3 +3⁢x 2+2⁢ x+4 を満たすとき,
1 α2 + 1β2 + 1γ2
の値は ① である.
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(2) 3 個の数字 1 , 2 , 3 を重複を許して使ってできる 5 桁の数の中から 1 つを選ぶとき, 1 , 2 , 3 の数字がすべて含まれている確率は ② である.
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(3) cos2⁡ θ- 19 ⁢sin2 ⁡θ= 0 のとき, cos⁡2⁢ θ の値は ③ である.また, k を自然数とする. 0<θ <k⁢π のとき,方程式 cos 2⁡θ - 19⁢ sin2⁡ θ=0 の解の個数を k を用いて表すと ④ である.
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(4) 極方程式 r = 31+2 ⁢sin⁡θ で表された曲線の漸近線のうち,傾きが正のものを直交座標に関する方程式で表すと y = ⑤ である.
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(5) 20232023 の一の位の数字は ⑥ である.