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2024 大学入学共通テスト 本試
易□ 並□ 難□
(ⅰ) のグラフは点を通る.また,のグラフは点を通る.
(ⅱ) のグラフは,の値によらず定点を通る.
(ⅲ) のとき
のグラフの概形は
のグラフの概形は
である.
については,最も適当なものを,次ののうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.
(2) とする.について考えよう.
(ⅰ) 座標平面において,方程式の表す図形を図示すると,のの部分となる.
については,最も適当なものを,次ののうちから一つ選べ.
(ⅱ) 座標平面において,不等式の表す領域を図示すると,の斜線部分となる.ただし,境界(境界線)は含まない.
については,最も適当なものを,次ののうちから一つ選べ.
2024 大学入学共通テスト 本試
易□ 並□ 難□
[2] をの次式とする.の整式をで割ったときの商を余りをとする.ただし,との係数は実数であるとする.
(1) の場合を考える.
方程式の解はである.
また,である.
(2) 方程式は異なる二つの解をもつとする.このとき
をで割った余りが定数になる
ことと同値な条件を考える.
(ⅰ) 余りが定数になるときを考えてみよう.
仮定から,定数を用いてとおける.このとき,したがって,余りが定数になるとき,が成り立つ.
については,最も適当なものを,次ののうちから一つ選べ.
が成り立つことから,となることが導かれる.また,が成り立つことから,となることが導かれる
かつが成り立つことから,となることが導かれる
が成り立つことから,となることが導かれる.また,が成り立つことから,となることが導かれる
かつが成り立つことから,となることが導かれる
の解答群
(ⅱ) 逆にが成り立つとき,余りが定数になるかを調べよう.
が次式であるから,を定数としてとおける.をを用いて表すと,となる.この等式のにをそれぞれ代入するととなるので,とよりとなる.以上から余りが定数になることがわかる.
の解答群
の解答群
かつ
かつ
かつ
かつ
の解答群
(ⅰ),(ⅱ)の考察から,方程式が異なる二つの解をもつとき, をで割った余りが定数になることとであることは同値である.
(3) を定数とし, の場合を考える.をで割った余りが定数になるとき,となり,その余りはとなる.
2024 大学入学共通テスト 本試
易□ 並□ 難□
【2】 をを満たす定数とし,とする.また,とする.関数とのグラフの関係について考えてみよう.
(1) のとき,すなわち,のときを考える.
(ⅰ) となるの値はである.
(ⅱ) を計算すると
であるから
のとき,は極大値をとり
のとき,は極小値をとることがわかる.
(ⅲ) と一致するものとして,次ののうち,正しいものはである.
の解答群
点を通る直線の傾き
点を通る直線の傾き
関数のグラフ上の点における接線の傾き
関数のグラフ上の点における接線の傾き
(2) の範囲で,関数のグラフと軸および軸で囲まれた図形の面積をの範囲で,関数のグラフと軸で囲まれた図形の面積をとする.このとき,である.
となるのはのときであるから,が成り立つようなに対する関数のグラフの概形はである.また,が成り立つようなに対する関数のグラフの概形はである.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
の解答群
については,最も適当なものを,次ののうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.
(3) 関数のグラフの特徴から関数のグラフの特徴を考えてみよう.
関数のグラフは直線に関して対称であるから,すべての正の実数に対して
が成り立ち,とおくとであるすべての実数に対して
が成り立つことがわかる.すべての実数に対して
が成り立つことに注意すれば,とはそれぞれ
となる.
以上から,すべての正の実数に対して,点を結ぶ線分の中点についての記述として,後ののうち,最も適当なものはである.
の解答群
の解答群
の解答群
の解答群
の解答群
の解答群
座標はの値によらず一つに定まり,座標はの値により変わる.
座標はの値により変わり,座標はの値によらず一つに定まる.
中点はの値によらず一つに定まり,関数のグラフ上にある.
中点はの値によらず一つに定まり,関数のグラフ上にある.
中点はの値によって動くが,つねに関数のグラフ上にある.
中点はの値によって動くが,つねに関数のグラフ上にある.
2024 大学入学共通テスト 本試
易□ 並□ 難□
【3】 以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて正規分布表を用いてもよい.また,ここでの晴れの定義については,気象庁の天気概況の「快晴」または「晴」とする.
(1) 太郎さんは,自分が住んでいる地域において,日曜日に晴れとなる確率を考えている.
晴れの場合は晴れ以外の場合はの値をとる確率変数をと定義する.また,である確率をとすると,その確率分布は表1のようになる.
表1
計 | |||
確率 |
表2
天気 | 日数 |
晴れ | |
晴れ以外 | |
計 |
この確率変数の平均(期待値)をとすると
となる.
太郎さんは,ある期間における連続した週の日曜日の天気を,表1の確率分布をもつ母集団から無作為に抽出した大きさの標本とみなし,それらのを確率変数で表すことにした.そして,その標本平均を利用して,母平均を推定しようと考えた.実際にとして晴れの日数を調べたところ,表2のようになった.
母標準偏差をとすると,は十分に大きいので,標本平均は近似的に正規分布に従う.
一般に,母標準偏差がわからないとき,標本の大きさが大きければ,の代わりに標本の標準偏差を用いてもよいことが知られている.は
で計算できる.ここで,であることに着目し,右辺を整理すると,と表されることがわかる.
よって,表2より,大きさの標本から求められる母平均に対する信頼度の信頼区間はとなる.
の解答群
の解答群
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
については,最も適当なものを,次ののうちから一つ選べ.
(2) ある期間において,「ちょうど週続けて日曜日の天気が晴れになること」がどのくらいの頻度で起こり得るのかを考察しよう.以下では,連続する週の日曜日の天気について,(1)の太郎さんが考えた確率変数のうち,を用いて調べる.ただし,は以上以下の自然数とする.
の値を順に並べたときのとからなる列において,「ちょうど三つ続けてが現れる部分」をとし,の個数を確率変数で表す.例えば,とし,の値を順に並べたとき
表3
であったとする.この例では,下線部分はを示しており,が四つ以上続く部分はとはみなさないので,となる.
のとき,のとり得る値と,それに対応したの値を書き出すと,表3のようになる.
ここで,の期待値を求めてみよう.(1)におけるの値をとする.のとき,の期待値は
となる.のとき,の期待値は
となる.
以上のについて,との関係を詳しく調べると,座標平面上の点は一つの直線上にあることがわかる.この事実によって
となる.
2024 大学入学共通テスト 本試
易□ 並□ 難□
を満たすとする.
のとき,である.
数列の一般項は,初項を用いて
と表すことができる.
(2) 数列が
を満たすとする.
数列の一般項は,初項を用いて
と表すことができる.
(3) 太郎さんは
を満たす数列について調べることにした.
(ⅰ)
・数列がを満たし,のとき,である.
・数列がを満たし,のとき,である.
(ⅱ) 太郎さんは,数列がを満たし,となる場合について考えている.
のとき,がどのような値でも
が成り立つ.
・数列がを満たし,のとき
である.
・数列がを満たし,のとき
である.
(ⅲ) 太郎さんは(ⅰ)と(ⅱ)から,となることがあるかどうかに着目し,次の命題が成り立つのではないかと考えた.
命題 数列がを満たし,であるとする.このとき,すべての自然数についてである.
命題が真であることを証明するには,命題の仮定を満たす数列について,を示せばよい.
実際,このようにして命題が真であることを証明できる.
については,最も適当なものを,次ののうちから一つ選べ.
かつであること
かつであること
ならばであること
のときが成り立つと仮定すると,のときもが成り立つこと
のときが成り立つと仮定すると,のときもが成り立つこと
(ⅳ) 次の(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)は,数列に関する命題である.
(Ⅰ) かつであり,かつを満たす数列がある.
(Ⅱ) かつであり,かつを満たす数列がある.
(Ⅲ) かつであり,かつを満たす数列がある.
(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)の真偽の組合せとして正しいものはである.
の解答群
(Ⅰ) | 真 | 真 | 真 | 真 | 偽 | 偽 | 偽 | 偽 |
(Ⅱ) | 真 | 真 | 偽 | 偽 | 真 | 真 | 偽 | 偽 |
(Ⅲ) | 真 | 偽 | 真 | 偽 | 真 | 偽 | 真 | 偽 |
2024 大学入学共通テスト 本試
易□ 並□ 難□
【5】 点を原点とする座標空間に点がある.を通る直線をとし,を通る直線をとする.
(1)
であり,である.
(2) 花子さんと太郎さんは,点が上を動くとき,が最小となるの位置について考えている.
が上にあるので,を満たす実数があり,が成り立つ.
が最小となるの値を求めればの位置が求まる.このことについて,花子さんと太郎さんが話をしている.
花子:が最小となるの値を求めればよいね.
太郎:が最小となるときの直線との関係に着目してもよさそうだよ.
である.
また,が最小となるとき,直線との関係に着目するとが成り立つことがわかる.
花子さんの考え方でも,太郎さんの考え方でも,のときが最小となることがわかる.
の解答群
の解答群
(3) 点が上を動き,点が上を動くとする.このとき,線分の長さが最小になるの座標はの座標はである.
【3】(1) を満たすは,の範囲に二つある.そのうち,値が小さい方はであり,大きい方はである.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
(2)
(ⅰ) のとき,方程式
を考える.
三角関数の加法定理により
が成り立つ.これらを用いると
が得られる.
により,は個の解をもつことがわかる.そのうち,最も小さい解はであり,番目に小さい解はである.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
の解答群
(ⅱ) を以上の自然数とする.のとき,方程式
を考える.
(ⅰ)と同じように考えると,のすべての解を求めることができる.そのうち,最も小さい解はであり,番目に小さい解はである.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
【4】 座標平面において,方程式が表す円をが表す円をとする.
必要に応じて,次のことを用いてもよい.
点と直線の距離
点と直線の距離をとするとき
となる.
(1) の中心は点半径はである.
(2) との両方に接する直線の方程式を求める方法について考えよう.
次の方針に基づいて考える.
方針
の接線のうち,にも接するものを求める.
上の点をとり,におけるの接線をとする.は上にあるので
が成り立つ.
(ⅰ) の方程式を求めよう.
かつの場合を考える.原点とを結ぶ直線をとすると,とは垂直である.の傾きはであるので,の傾きはとなる.よって,の方程式はとなる.
またはの場合も,の表す直線は,におけるの接線となることがわかる.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
の解答群
(ⅱ) がに接するのは,ときである.
の解答群
が軸に平行である
が軸に平行である
がの中心を通る
の中心との距離が,の半径に等しい
の中心との距離が,の半径に等しい
(ⅲ) (ⅰ),(ⅱ)での考察から次のことがわかる.
がに接するときのの座標は
である.ただし,とする.よって,これらのの組をに代入すれば,との両方に接する直線の方程式が得られる.