2024　大学入学共通テスト　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　次の等式$\text{①}$と$\text{②}$を同時に満たす実数$x\text{，}$$y$について考える．

$50(x^2+y^2)={(x+7y)}^2$$\cdots \text{①}$

$-4\sqrt{3}x+y=1$$\cdots \text{②}$

　$\text{①}$の左辺から右辺を引くと

$50(x^2+y^2)-{(x+7y)}^2={(\text{ア}x-y)}^2$

となる．よって，$\text{①}$より

$y=\text{ア}x$

である．したがって

$x=\text{イ}+\text{ウ}\sqrt{3}$

となり，$y=\text{ア}(\text{イ}+\text{ウ}\sqrt{3})$となる．

　また

$x^2+y^2-50=400(\text{エオ}+\text{カ}\sqrt{3})$

となる．

【１】

［２］　地点$\mathrm{A}$と地点$\mathrm{B}$が一般道路あ（以下，道路あ）と高速道路い（以下，道路い）でつながっている．車の制限速度は，道路あが時速$30\mathrm{km}$で，道路いが時速$80\mathrm{km}$である．道路あにおける$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの道のりは$75\mathrm{km}$であり，道路いにおける$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの道のりは$48\mathrm{km}$である．

　道路あ上に地点$\mathrm{P}$があり．道路あにおける$\mathrm{P}$から$\mathrm{A}$までの道のりは$10\mathrm{km}$である．また，地点$\mathrm{Q}$は道路あにおいて$\mathrm{P}$と$\mathrm{B}$の間にある．ただし，$\mathrm{Q}$は，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{B}$のいずれとも異なる地点である．

　太郎さんは，$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$に車で行くことになった．$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$に行くには，$\mathrm{P}$から道路あだけを通って$\mathrm{Q}$に行く経路１と，$\mathrm{P}$から道路あを通って$\mathrm{A}$に行き，$\mathrm{A}$から道路いを通って$\mathrm{B}$に行き，$\mathrm{B}$から道路あを通って$\mathrm{Q}$に行く経路２がある．

　道路あにおける$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$までの道のりがどれくらいであれば，経路２を選ぶ方が経路１を選ぶより短い時間で$\mathrm{Q}$に到着できるかを考えたい．ただし，車はつねに制限速度で走るものとする．

　道路あにおいて，$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$までの道のりを$x\mathrm{km}$とすると，$\mathrm{P}$から$\mathrm{A}$までの道のりが$10\mathrm{km}$であり，$\mathrm{P}$と$\mathrm{B}$の間に$\mathrm{Q}$があることから$x<65$である．

　経路２を選ぶとき，道路あを通っている時間は${\displaystyle \frac{\text{キク}-x}{\text{ケコ}}}$時間となるので，経路２を選んだ場合の$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$までの所要時間は$({\displaystyle \frac{\text{キク}-x}{\text{ケコ}}}+{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}})$時間となる．よって，経路２を選ぶ方が経路１を選ぶより短い時間で$\mathrm{Q}$に到着できることを表す不等式は

${\displaystyle \frac{\text{キク}-x}{\text{ケコ}}}+{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\text{ス}{\displaystyle \frac{x}{\text{セソ}}}$

となる．これを解くと

$x>\text{タチ}.\text{ツ}$

となる．したがって，道路あにおける$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$までの道のりが$\text{タチ}.\text{ツ}\mathrm{km}$より長ければ，経路２を選ぶ方が経路１を選ぶより短い時間で$\mathrm{Q}$に到着することができる．

　$\text{ス}$の解答群

【１】

［３］　三角形に関連する量と三角形の合同条件について考察する．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{BC}=4$であり，$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}$であるとする．このとき，$\mathrm{\angle BAC}$の大きさについて二つの場合を考えることができ，そのうちの小さい方は$\text{テ}$であり大きい方は$\text{ト}$である．さらに，$\mathrm{▵ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}$であるとする．このとき，$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}=\text{ナ}$である．

　$\mathrm{\angle BAC}=\text{テ}$のとき，余弦定理より${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2=\text{ニヌ}$なので${(\mathrm{AB}+\mathrm{AC})}^2=\text{ネノ}$である．よって，$\mathrm{AC}=\text{ハ}-\mathrm{AB}$より

$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{\text{ヒ}\pm \sqrt{\text{フヘ}}}{2}}$

である．

　また，$\mathrm{\angle BAC}=\text{ト}$のとき，同様に考えると$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{\sqrt{19}\pm \sqrt{7}}{2}}$であることがわかる．

　$\text{テ}\text{，}$$\text{ト}$の解答群

(2)　次の命題(a)，(b)の真偽の組合せとして正しいものは$\text{ホ}$である．

(a)　二つの三角形において，一組の辺，面積，外接円の半径がそれぞれ等しいならば，その二つの三角形は合同である．

(b)　二つの三角形において，一組の角，面積，外接円の半径がそれぞれ等しいならば，その二つの三角形は合同である．

　$\text{ホ}$の解答群

【２】

［１］　花子さんと太郎さんは，絶対値を含む関数のグラフを考えている．

(1)　関数

$y={\displaystyle \frac{1}{8}}|x^2+2x-8|+{\displaystyle \frac{1}{8}}(x^2-6x)$$\cdots \text{①}$

のグラフを考える．

(ⅰ)　$2$次不等式$x^2+2x-8<0$の解は$\text{アイ}<x<\text{ウ}$である．

　$\text{アイ}<x<\text{ウ}$のとき，$x^2+2x-8$の値は負となるので，$\text{①}$は

$y=-{\displaystyle \frac{1}{8}}(x^2+2x-8)+{\displaystyle \frac{1}{8}}(x^2-6x)=-x+1$

と変形できる．

　$x\leqq \text{アイ}\text{，}$$\text{ウ}\leqq x$のとき，$\text{①}$は

$y={\displaystyle \frac{1}{8}}(x^2+2x-8)+{\displaystyle \frac{1}{8}}(x^2-6x)$$={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-1$

と変形できる．

(ⅱ)　$2$次関数

$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-1$

のグラフの頂点の座標は$(\text{エ},{\displaystyle \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}})$である．

(ⅲ)　$\text{①}$のグラフは$\text{ク}$である．

　$\text{ク}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つ選べ．なお，$x$軸と$y$軸は省略しているが，$x$軸は右方向，$y$軸は上方向がそれぞれ正の方向である．

(2)　花子さんと太郎さんは，(1)を振り返って，グラフのおおよその形をより簡単に知る手順を，関数

$y=-{\displaystyle \frac{1}{8}}|x^2-9|-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2+x$$\cdots \text{②}$

を例にして考えている．

　関数$y=-{\displaystyle \frac{1}{8}}|x^2-9|-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2+x$のグラフは$\text{ケ}$である．

　次の関数のグラフについても考えてみよう．

・関数$y={\displaystyle \frac{1}{8}}|x^2-9|-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2+x$のグラフは$\text{コ}$である．

・関数$y={\displaystyle \frac{1}{8}}|x^2+2\sqrt{5}x-4|+{\displaystyle \frac{1}{8}}(x^2+2\sqrt{5}x)$のグラフは$\text{サ}$である．

　$\text{ケ}\text{〜}$$\text{サ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．なお，$x$軸と$y$軸は省略しているが，$x$軸は右方向，$y$軸は上方向がそれぞれ正の方向である．

【２】

［２］　演技などの採点において，複数の審査員による採点結果の評点のうち，最小値と最大値をそれぞれ$1$個ずつ除外した評点によって評価が行われることがある．

　以下では，審査員がそれぞれ$1,2,3,4,5$のいずれかの評点をつけるものとする．

　$n$は$3$以上の自然数とする．$n$人の審査員による採点結果の評点を小さい方から順に並べたものを

$x_1,x_2,\cdots ,x_n$

と表し，これを「元の評点」と呼ぶこととし，「元の評点」の平均値を$\bar{x}\text{，}$分散を$s^2$で表す．また，「元の評点」から最小値$x_1$と最大値$x_n$を除外した評点を並べたもの

$x_2,x_3,\cdots ,x_{n-1}$

を「調整後の評点」と呼ぶこととし，「調整後の評点」の平均値を$\bar{y}\text{，}$分散を$t^2$で表す．さらに，除外した$2$個の評点$x_1\text{，}$$x_n$の平均値を$\bar{z}$で表す．

　例えば，$5$人の審査員による採点結果の評点が$2,5,3,3,2$であったとする．このとき「元の評点」は$2,2,3,3,5$となり，「調整後の評点」は$2,3,3$となる．

(1)　$n=10$とする．「元の評点」が

$1,2,2,3,3,3,3,4,4,5$

であったとする．このとき$\bar{x}=3\text{，}$$\bar{y}=\text{シ}\text{，}$$s^2=1.2\text{，}$$t^2=\text{ス}.\text{セ}$である．

(2)　$n\geqq 5$とする．$A=x_1+x_n\text{，}$$B=x_2+x_3+\cdots +x_{n-1}$とおくと，$\bar{x}={\displaystyle \frac{A+B}{n}}$となり，$\bar{z}={\displaystyle \frac{A}{2}}$と$\bar{y}={\displaystyle \frac{B}{n-2}}$を用いると

$\bar{x}=\text{ソ}\bar{z}+\text{タ}\bar{y}$

と表すことができる．$\bar{x}\leqq \bar{y}$が成り立つための必要十分条件として，後の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうち，正しいものは$\text{チ}$である．

　$\text{ソ}\text{，}$$\text{タ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{チ}$の解答群

(3)　$n=10$とする．

(ⅰ)　「調整後の評点」が$m$個の$a$と$(8-m)$個の$b$であったとする．ただし，$a<b\text{，}$$0<m<8$とする．このとき，$\bar{y}$は$m$と$a\text{，}$$b$を用いて

$\bar{y}={\displaystyle \frac{ma+(8-m)b}{8}}$

と表せる．また，$t^2$は$m$と$a\text{，}$$b$を用いて，$t^2=\text{ツ}$と表すことができる．

　$\text{ツ}$の解答群

(ⅱ)　ある演技において，$4$人の選手あ〜えの「元の評点」が，表１の結果であった場合を考える．

　表１の$4$人の選手のうち，$t^2$が最も大きい選手は$\text{テ}$である．

　$\text{テ}$の解答群

【３】　$1$辺の長さが$1$である正方形のタイルが$6$枚ある．これらのタイルを$1$枚ずつ互いに重ならないように，$1$辺の長さが$4$である正方形の壁に貼っていくことを考える．ただし，新しく貼るタイルは，その左側と下側が壁の縁やすでに貼られているタイルとの間に隙間ができないように，詰めて貼られるものとする．また，新しく貼るタイルの位置の候補が全部で$n$箇所あるとき，そのうちのどの位置についてもタイルを貼る確率は${\displaystyle \frac{1}{n}}$であるものとする．

　このとき，$1$枚目のタイルは壁の左下の隅に貼られることになる．また，$2$枚目のタイルを貼る位置の候補は，$1$枚目のタイルのすぐ右かすぐ上の$2$箇所となる．

　同様に考えると，$4$枚目のタイルを貼るまでのタイルの配置は，図１のようになる．ただし，図１における矢印はタイルの配置の推移を表している．なお，$3$枚目から$4$枚目の間の矢印は省略している．

　以下，タイルの配置を，単に配置という．

(1)　$2$枚目のタイルを貼った時点での配置を考える．

　$2$枚目のタイルを貼った時点での配置が図１の$\mathrm{A}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(2)　$3$枚目のタイルを貼った時点での配置を考える．

　$3$枚目のタイルを貼った時点での配置が図１の$\mathrm{B}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\times {\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}={\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}$である．

　また，$3$枚目のタイルを貼った時点での配置が図１の$\mathrm{C}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$である．

(3)　$4$枚目のタイルを貼った時点での配置を考える．ここで，図１を再掲しておく．

(ⅰ)　$4$枚目のタイルを貼った時点での配置が図１の$\mathrm{E}$となるとき，$3$枚目のタイルを貼った時点でのあり得る配置は，図１の$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のうち$\text{ケ}$である．したがって，$4$枚目のタイルを貼った時点での配置が図１の$\mathrm{E}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サシ}}}$である．

　$4$枚目のタイルを貼った時点での配置が図１の$\mathrm{F}$となるとき，$3$枚目のタイルを貼った時点でのあり得る配置は，図１の$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のうち$\text{ス}$である．したがって，$4$枚目のタイルを貼った時点での配置が図１の$\mathrm{F}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}$である．

　$\text{ケ}\text{，}$$\text{ス}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(ⅱ)　$4$枚目のタイルを貼った時点での配置が図１の$\mathrm{E}$であったとき，$2$枚目のタイルを貼った時点での配置が図１の$\mathrm{A}$である条件付き確率は${\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}$である．

(4)　$6$枚目のタイルを貼った時点での配置を考える．

　$6$枚目のタイルを貼った時点での配置が図２ となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テト}}}$である．

【４】

［１］(1)　等式

$2xy-4x-3y=0$$\cdots \text{①}$

を満たす整数$x\text{，}$$y$の組を考えよう．

　$\text{①}$を変形すると

$(2x-\text{ア})(y-\text{イ})=\text{ウ}$

となる．よって，$\text{①}$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組は$\text{エ}$個ある．それらの組の中で$xy$の値が最大になるのは

$(x,y)=(\text{オ},\text{カ})$

のときである．

(2)　$a$を$0$以上の整数とする．等式

$2xy-4x-3y=3a$

を満たす整数$x\text{，}$$y$の組がちょうど$8$個になるような最小の$a$は$\text{キ}$である．

【４】

［２］　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は$3\leqq a\leqq 6\text{，}$$0\leqq b\leqq 6\text{，}$$1\leqq c\leqq 4$を満たす整数で，さらに$c+1<a$を満たすとする．$M$を$7$進法で${\mathit{abc}}_{(7)}$と表される自然数とし，${\mathit{abc}}_{(7)}$の$a$と$c$を入れ替えて${\mathit{cba}}_{(7)}$と表される自然数を$N$とする．$X=M-N$とおくと

$X=(\text{ク})\times 7^2+\text{ケ}$

となる．この式は

$X=(\text{ク}-1)\times 7^2+\text{コ}\times 7+7+\text{ケ}$

と変形できる．したがって，$X$を$7$進法で

$X={\mathit{def}}_{(7)}$

と表すと

$d=\text{ク}-1\text{，}$$e=\text{コ}\text{，}$$f=7+\text{ケ}$

となる．

　次に，${\mathit{def}}_{(7)}$の$d$と$f$を入れ替えて${\mathit{fed}}_{(7)}$と表される自然数を$Y$とする．$X+Y$を$7$進法で

$X+Y={\mathit{pqrs}}_{(7)}$

と表すと

$p=\text{サ}\text{，}$$q=\text{シ}\text{，}$$r=\text{ス}\text{，}$$s=\text{セ}$

となる．

　$\text{ク}\text{，}$$\text{ケ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{サ}\text{〜}$$\text{セ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【５】　三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした三つの垂線は$1$点で交わることが知られている．この点を三角形の垂心という．

　$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}\text{，}$垂心を$\mathrm{H}\text{，}$内心を$\mathrm{I}$とする．点$\mathrm{O}$に関して，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$と対称な点を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$直線$\mathrm{BH}$と直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{E}$とする．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$を三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする．

(ⅰ)　直線$\mathrm{AC}$は，三つの直線$\mathrm{AR}\text{，}$$\mathrm{CP}\text{，}$$\text{ア}$のそれぞれと垂直である．また，直線$\mathrm{BC}$は，三つの直線$\mathrm{AH}\text{，}$$\mathrm{BR}\text{，}$$\text{イ}$のそれぞれと垂直である．

　$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(ⅱ)　$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=4:1$および$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=2:3$であるとする．$\mathrm{▵ADC}$と直線$\mathrm{BE}$に着目すると

${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HD}}}={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$

である．よって，このことと(ⅰ)から，$\mathrm{▵ARB}$の面積は$\mathrm{▵ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カキ}}}$倍であることがわかる．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$を三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする．このとき，$\mathrm{▵ABP}$と$\text{ク}$は相似である．なぜならば，$\mathrm{▵ABP}$と$\text{ク}$はいずれも直角三角形であり，また，$\mathrm{\angle APB}=\text{ケ}$が成り立つからである．

　このことから，外心$\mathrm{O}\text{，}$垂心$\mathrm{H}\text{，}$内心$\mathrm{I}$についての次の命題(a)，(b)の真偽の組合せとして正しいものは$\text{コ}$であることがわかる．

(a)　直線$\mathrm{AO}$と直線$\mathrm{AH}$は直線$\mathrm{AI}$に関して対称である．

(b)　外心$\mathrm{O}$と垂心$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AI}$に関して対称である．

　$\text{ク}$の解答群

　$\text{ケ}$の解答群

　$\text{コ}$の解答群

(3)　$\mathrm{▵ABC}$を三つの辺の長さがすべて異なる鈍角三角形で，$\mathrm{\angle BAC}$が鈍角であるものとする．このとき

$\mathrm{\angle BAP}=\text{サ}$

および

$\mathrm{\angle OAI}+\text{シ}=180\mathrm{°}$

がつねに成り立つ．なお，角の大きさはすべて$0\mathrm{°}$より大きく$180\mathrm{°}$以下で考えるものとする．

　$\text{サ}$の解答群

　$\text{シ}$の解答群

【１】

［３］(1)　$U$を全体集合とし，$A\text{，}$$B\text{，}$$C$を$U$の部分集合とする．$U\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$C$の関係を図１のように表すと，例えば，$A\cap (B\cup C)$は$A$と$B\cup C$の共通部分で，$B\cup C$は図２の斜線部分なので，$A\cap (B\cup C)$は図３の斜線部分となる．

　このとき，$\bar{A}\cap (\bar{B}\cap \bar{C})$は$\text{テ}$の斜線部分，$A\cap (\bar{B}\cap \bar{C})$は$\text{ト}$の斜線部分である．

　$\text{テ}\text{，}$$\text{ト}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

(2)　全体集合$U$を，$-5$以上$5$以下の整数全体の集合とする．また，$a\text{，}$$b$を整数として，次の$A\text{，}$$B\text{，}$$C$が$U$の部分集合になっているとする．

$A=\{0,a-3,a+3\}\text{，}$$B=\{b-2,b+3\}\text{，}$$C=\{1,2,3,4\}$

(ⅰ)　$a\text{，}$$b$がとり得る値について考える．$A\subset U$であることから，$a$がとり得る値は$\text{ナニ}$以上$\text{ヌ}$以下の整数である．また，$B\subset U$であることから，$b$がとり得る値は$\text{ネノ}$以上$\text{ハ}$以下の整数である．

(ⅱ)　$A\text{，}$$B\text{，}$$C$が次の条件を満たすとする．

　このとき$A\cup (B\cup C)$の要素を具体的に考え，$A$の要素と比較すると$a=\text{ヒ}$がわかる．このことより，さらに$B$の要素とも比較すると，$b$のとり得る値は$2$通りであることがわかる．

(ⅲ)　$A\text{，}$$B\text{，}$$C$が(ⅱ)の条件を満たすとする．このとき

$A\cap (\bar{B}\cap \bar{C})$の要素の個数が$1$個であるとすると，$b=\text{フ}$

であり

$A\cap (\bar{B}\cap \bar{C})$の要素の個数が$2$個であるとすると，$b=\text{ヘ}$

である．

【２】

［１］　負の定数$k$に対して

$\sin \theta \cos \theta =k$$\cdots \text{①}$

を満たすについて考えよう．ただし，$0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$とする．

(1)　$\text{①}$を満たす$\theta$が存在するとする．このとき，$\theta$は$\text{ア}$であるから，$\sin \theta \text{イ}\cos \theta$が成り立つ．

　$\text{ア}$の解答群

　$\text{イ}$の解答群

(2)　$k=-{\displaystyle \frac{7}{18}}$のとき，${(\sin \theta -\cos \theta )}^2={\displaystyle \frac{\text{ウエ}}{\text{オ}}}$である．よって

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\text{カキ}\pm \sqrt{\text{ク}}}{\text{ケ}}}$

が得られる．このことから，$k=-{\displaystyle \frac{7}{18}}$のとき，$\text{①}$を満たす$\theta$は二つ存在することがわかる．これら二つの$\theta$のうち，小さい方の大きさは$\text{コ}$である．なお，$\sqrt{2}=1.41\cdots \text{，}$$\sqrt{3}=1.73\cdots$である．

　$\text{コ}$の解答群

【３】

［１］　$c$を定数とする．$2$次関数

$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+1$

のグラフを$G$とする．また，$G$を$x$軸方向に$4c\text{，}$$y$軸方向に$c^2-8c+6$だけ平行移動した放物線を$H$とする．

(1)　$c=-1$とする．このとき$H$をグラフにもつ$2$次関数は

$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+\text{ア}x+\text{イウ}$

である．

(2)　$H$と$x$軸との共有点の個数が$2$個となるような$c$の値の範囲は

$\text{エ}<c<\text{オ}$

である．

(3)　$c=4$とする．このとき$H$の頂点を$\mathrm{P}$とし，$H$と$x$軸との共有点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とすると

$\mathrm{P}(\text{カキ},\text{クケ})\text{，}$$\mathrm{A}(\text{コサ},0)\text{，}$$\mathrm{B}(\text{シス},0)$

である．ただし，$\text{コサ}<\text{シス}$とする．

　また，次の条件を満たす長方形$S$を考える．

　条件を満たすような$S$の面積の最大値は$\text{セソ}$である．

【４】

［１］　演技などの採点において，複数の審査員による採点結果の評点のうち，最小値と最大値をそれぞれ$1$個ずつ除外した評点によって評価が行われることがある．

　以下では，審査員がそれぞれ$1,2,3,4,5$のいずれかの評点をつけるものとする．

　$n$は$3$以上の自然数とする．$n$人の審査員による採点結果の評点を小さい方から順に並べたものを

$x_1,x_2,\cdots ,x_n$

と表し，これを「元の評点」と呼ぶこととし，「元の評点」の平均値を$\bar{x}\text{，}$分散を$s^2$で表す．また，「元の評点」から最小値$x_1$と最大値$x_n$を除外した評点を並べたもの

$x_2,x_3,\cdots ,x_{n-1}$

を「調整後の評点」と呼ぶこととし，「調整後の評点」の平均値を$\bar{y}\text{，}$分散を$t^2$で表す．さらに，除外した$2$個の評点$x_1\text{，}$$x_n$の平均値を$\bar{z}$で表す．

　例えば，$5$人の審査員による採点結果の評点が$2,5,3,3,2$であったとする．このとき「元の評点」は$2,2,3,3,5$となり，「調整後の評点」は$2,3,3$となる．

(1)　$n=10$とする．「元の評点」が

$1,2,2,3,3,3,3,4,4,5$

であったとする．このとき$\bar{x}=3\text{，}$$\bar{y}=\text{ア}\text{，}$$s^2=1.2\text{，}$$t^2=\text{イ}.\text{ウ}$である．

(2)　$n\geqq 5$とする．

(ⅰ)　$A=x_1+x_n\text{，}$$B=x_2+x_3+\cdots +x_{n-1}$とおくと，$\bar{x}={\displaystyle \frac{A+B}{n}}$となり，$\bar{z}={\displaystyle \frac{A}{2}}$と$\bar{y}={\displaystyle \frac{B}{n-2}}$を用いると

$\bar{x}=\text{エ}\bar{z}+\text{オ}\bar{y}$

と表すことができる．$\bar{x}\leqq \bar{y}$が成り立つための必要十分条件として，後の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうち，正しいものは$\text{カ}$である．

　$\text{エ}\text{，}$$\text{オ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{カ}$の解答群

(ⅱ)　$n=5$のとき，「元の評点」は$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$である．$x_2=x_3=x_4=3$であったとき，$\bar{x}\leqq \bar{y}$となるような$(x_1,x_5)$の組は全部で$\text{キ}$個ある．

【４】

［２］　変量$x\text{，}$$y$の値の組のデータ

$(x_1,y_1)\text{，}(x_2,y_2)\text{，}(x_3,y_3)$

をデータ$Z$と呼ぶことにする．

　$x$と$y$の共分散を$s_{xy}$で表す．ただし，共分散とは$x$の偏差と$y$の偏差との積の平均値である．したがって，データ$Z$の$x\text{，}$$y$の平均値をそれぞれ$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}$とすると，$s_{xy}$は

$s_{xy}={\displaystyle \frac{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+(x_3-\bar{x})(y_3-\bar{y})}{3}}$

と表せる．

　また$a$を$0$でない実数とし，データ$Z$の変量$y$の値のそれぞれに$a$を加えて得られるデータ

$(x_1,y_1+a)\text{，}$$(x_2,y_2+a)\text{，}$$(x_3,y_3+a)$

とデータ$Z$を合わせたデータ

$(x_1,y_1)\text{，}(x_2,y_2)\text{，}(x_3,y_3)\text{，}$$(x_1,y_1+a)\text{，}$$(x_2,y_2+a)\text{，}$$(x_3,y_3+a)$

をそれぞれ，変量$u\text{，}$$v$の値の組のデータ

$(u_1,v_1)\text{，}(u_2,v_2)\text{，}(u_3,v_3)\text{，}$$(u_4,v_4)\text{，}$$(u_5,v_5)\text{，}$$(u_6,v_6)$

とおく．これをデータ$Z^{\prime }$と呼ぶことにする．

(1)　データ$Z^{\prime }$の共分散を$s_{uv}$と表す．$s_{uv}$と$s_{xy}$の関係について考えよう．まずデータ$Z^{\prime }$の$u\text{，}$$v$の平均値をそれぞれ$\bar{u}\text{，}$$\bar{v}$とすると

$\bar{u}=\bar{x}\text{，}$$\bar{v}=\bar{y}+\text{ク}$

が成り立つ．

　次に，$s_{uv}$を求めるために

$(u_4-\bar{u})(v_4-\bar{v})+(u_5-\bar{u})(v_5-\bar{v})$$+(u_6-\bar{u})(v_6-\bar{v})$

$=(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})$$+(x_3-\bar{x})(y_3-\bar{y})$

$+(a-\text{ク})\{(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+(x_3-\bar{x})\}$

とできることに着目すると

$s_{uv}=\text{ケ}$

となることがわかる．

　$\text{ク}$の解答群

　$\text{ケ}$の解答群

(2)　データ$Z$の$x$と$y$の相関係数を$r\text{，}$データ$Z^{\prime }$の$u$と$v$の相関係数を$r^{\prime }$とする．$r$と$r^{\prime }$の関係として，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうち，正しいものは$\text{コ}$と$\text{サ}$である．ただし，$r$と$r^{\prime }$は計算できるものとする．

　$\text{コ}\text{，}$$\text{サ}$の解答群（解答の順序は問わない．）