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[1](1) とする.を,を底とする対数を用いて表そう.
とおくと,が成り立つ.これにより,となるので,が得られる.すなわち,である.
の解答群
の解答群
の解答群
(2) 底が異なる二つの対数について,それらの和と積の大小関係を考えよう.
(ⅰ) とし
とおく.不等式
を満たすの値の範囲を調べる.
とを,それぞれを底とする対数を用いて表すと
となる.ここで
である.とおくと,のとり得る値の範囲は実数全体である.についての不等式を満たすの値の範囲は
である.
よって,を満たすの値の範囲は
である.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
(ⅱ) とし
とおく.不等式
を満たすの値の範囲を調べる.
(1)と同様に考えると,はを底とする対数を用いてと表せる.また,もを底とする対数を用いて表すことができる.
このことから,とを(ⅰ)で定めた関数とするとき,とをそれぞれまたはを用いて表すと
となる.よって,を満たすの値の範囲は
であることがわかる.
の解答群
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
表1
[2] 花子さんは,三角関数の表を見て,角がに近づくときのの値の変化に興味をもった.なお,表1は三角関数の表の一部である.
そこで,を満たすに対して,との値を比較してみることにした.
(1) より分母と分子をそれぞれで割ると
となる.さらにを満たすに対して,が成り立つことから,はを用いて
と表せる.
の解答群
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
(2) から,のときのとり得る値の範囲は
である.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
(3) 花子さんは,表1に載っていないの値を,を用いて調べることにした.
のとき,を満たすは
である.
花子さんは,表1を参考にしてとした.を用いるとの値はであることがわかる.
の解答群
(1) であるから,はで極大値をとり,で極小値をとる.
の範囲において,はで最大値をとり,で最小値をとる.また,の範囲において,はで最大値をとり,で最小値をとる.
(2) を実数とし,の範囲におけるの最大値を最小値をとおく.
かつとなるようなの値の範囲は
である.また,かつとなるようなの値の範囲は
であり,このときとなることに注意すると,の範囲においてはで最大値をとることがわかる.
図1
(3) とし,座標平面において点を結んでできる線分をとおく.がの範囲を動くとき,が通過する部分を図示すると図1の灰色部分となる.ただし,境界(境界線)を含む.なお,図1においては関数のグラフのの部分を実線で表している.
このとき,図1の灰色部分の面積はである.
(4) とし,座標平面において点を結んでできる線分をとおく.また,を実数とし,実数がの範囲を動くとき,が通過する部分の面積をとする.
(ⅰ) の値は,したがって,すべての実数に対して,が成り立つ.
の解答群
の解答群
(ⅱ) を計算すると
となることがわかるので,の値がからまで増加するとき,の値はことがわかる.
の解答群
【3】 以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて正規分布表を用いてもよい.
太郎さんと花子さんは,「はい」か「いいえ」のどちらかで答えられる質問を考えている.質問数は一つで,確率で「はい」の回答が得られ,確率で「いいえ」の回答が得られるものとする.この質問を,三人からなるグループの一人ひとりに別々に示し,そのうち一人だけが「はい」と回答する確率を考えたい.
図1 関数のグラフ
(1) 組のグループにおいて,三人のうち一人だけが「はい」と回答する確率をとする.このとき,はの関数となり,とおくと
であり,となることがわかる.また.における関数のグラフは図1のようになる.
グループ1 | グループ2 | グループ3 | ||||||
× | × | × | ○ | × | × | ○ | ○ | × |
グループ4 | グループ5 | グループ6 | ||||||
○ | × | ○ | × | ○ | ○ | × | ○ | ○ |
グループ7 | グループ8 | グループ9 | ||||||
○ | ○ | ○ | ○ | ○ | × | × | ○ | × |
○は「はい」,×は「いいえ」を表す.
図2 組のグループに質問した結果
(2) 太郎さんと花子さんは,「質問Ⅰ」を作成し,試しに三人からなる組のグループに質問した.その結果が図2に示されており,三人のうち一人だけが「はい」と回答したのは,グループ2とグループ9の組のグループであった.
太郎さんと花子さんは,三人のうち一人だけが「はい」と回答したグループの割合がとなったので,(1)のを用いてとなるかについて考えることにした.となるについては,方程式が
と変形できることに着目することにより求められる.
(3) 太郎さんと花子さんは,となるように工夫して「質問Ⅱ」を考え,今度は三人からなる組のグループに質問した.その結果,三人のうち一人だけが「はい」と回答したグループは組であった.
(ⅰ) 太郎さんと花子さんは,「質問Ⅱ」における(1)のがとなるかどうかを回答の結果から確かめることにした.そこで,に対する信頼度の信頼区間を考えている.
太郎:三人のうち一人だけが「はい」と回答するグループの数を確率変数として考えてみたらどうかな.
花子:二項分布を用いるといいね.
三人のうち一人だけが「はい」と回答するグループの数を確率変数で表すと,は二項分布に従う.標本の大きさは十分に大きいので,二項分布の正規分布による近似を用いてに対する信頼度の信頼区間を求めることができる.その信頼区間はとなるから,が信頼区間に含まれることが確認できる.
の解答群
(ⅱ) 太郎さんと花子さんは.(ⅰ)の結果を振り返りながら先生と話をしている.
太郎:私たちの考えたやり方では,三人のうち一人だけが「はい」と回答するグループの数に着目したね.
花子:ほかにも方法はないのかな.
先生:(1)の図1を見たらわかると思うけど,関数はで減少するので,に対する信頼度の信頼区間から,その信頼区間に対応するのとり得る値の範囲を考えることもできますよ.
花子:先生の方法だと,のとり得る値の範囲が(ⅰ)で求めたに対する信頼区間よりせまくなるかもしれないね.
参考図
三人からなる組のグループに質問するとき,「はい」と回答する人数を確率変数で表すと,は二項分布に従う.三人からなる組のグループに質問するときの結果を,と同じ確率分布をもつ母集団から無作為に抽出した大きさの標本とみなす.これらを確率変数で表す.このとき,期待値は
となる.三人からなる組のグループから得られた「質問Ⅱ」への回答結果において,標本平均は標本の標準偏差はであった.
に対する信頼度の信頼区間をとするとき,である.よって
となり,に対する信頼度の信頼区間が求められる.
標本の大きさが十分に大きいとき,母標準偏差の代わりに標本の標準偏差を用いてよいことが知られているから,に対する信頼度の信頼区間はとなることがわかる.
に対する信頼度の信頼区間から,先生が示唆したのとり得る値の範囲はとなる.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
については,最も適当なものを,次ののうちから一つ選べ.
を考える.
原点を点をとし,次の手順で点を定める.
手順
・から軸に平行な直線を引いて,直線との交点をとする.
・から軸に平行な直線を引いて,直線との交点をとする.
・から軸に平行な直線を引いて,直線との交点をとする.
・から軸に平行な直線を引いて,直線との交点をとする.
参考図
(1) とする.すなわち,はである.の座標はであり,の座標はである.
自然数について,の座標をとする.の座標をを用いて表すと,となる.よって,の座標はとなる.したがって,数列の一般項はである.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
の解答群
(2) とする.すなわち,はである.自然数について,の座標をとする.
(ⅰ) 数列について,かつ
となる.よって,数列の一般項は
となる.
(ⅱ) 自然数について,とを結ぶ線分の長さをとし,とを結ぶ線分の長さをとする.を順に結んだ折れ線の長さをとおく.である.
すべての自然数について,をを用いて表すと,である.また,数列について
が成り立つ.このことを用いると
となる.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
の解答群
参考図
【5】 平面上に点がある.ただし,は同一直線上にはないとする.とおく.
をを満たす実数とし,点を以下のように定める.
・線分をに内分する点をとする.
・線分をに内分する点をとする.
・線分をに内分する点をとする.
(1) をとを用いて表すと
である.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
(2) を図1の位置にとる.のときのの位置として,図1における点のうち,正しいものはである.ただし,図1における破線は,を等分する点を通りに平行な線分と,を等分する点を通りに平行な線分である.または,いずれもこれらの線分どうしの交点である.
図1
の解答群
(3) の場合を考える.を満たす点をとる.を通り直線と垂直に交わる直線をとする.がの範囲を動くとき,との距離について考えよう.
直線との交点をとし,をを満たす正の数とする.
参考図
(ⅰ) をとを用いて表すと
である.また,直線と直線が垂直に交わることから,であることがわかる.
の解答群
の解答群
(ⅱ) とおく.を,垂直な二つのベクトルとを用いて表すことを考えよう.まずとは,とを用いると
と表すことができる.
これから
であることがわかる.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
(ⅲ) がの範囲を動くとき,との距離が最小になるのはのときである.
の解答群
(1) が成り立つので,この両辺を乗することにより,は
を満たすことがわかる.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
(2) をで割ったときの商を余りをとすると,である.
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)
(3) 太郎さんと花子さんは,が実数になるとき,とが満たす関係式について話している.
太郎:を展開すれば,が実数になるとき,とが満たす関係式がわかるね.
花子:(2)の結果を使っても,関係式が求められないかな.
(ⅰ) 太郎さんの求め方について考えてみよう.
であるから,が実数になるとき,とはを満たすことがわかる.
の解答群
の解答群
(ⅱ) 花子さんの求め方について考えてみよう.
とする.(2)と同じように,をで割ったときの商を余りをとすると,であることがわかる.したがって,実数を用いてと表すと,が実数になるとき,となることがわかる.
このことと(2)より,とが満たす関係式はとわかる.
の解答群
の解答群
(4) を展開すると
であるから,であることがわかる.
このことと(3)における花子さんの考え方を用いると,をで割った余りのの係数はであることがわかる.
の解答群
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)