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2024-10007-0101
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2024 室蘭工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f⁡ (x) を f⁡ (x)= 1+cos⁡x+ x⁢sin⁡x と定める.
(1) f′⁡( x)=0 を満たす x を 0≦x ≦π の範囲ですべて求めよ.
(2) 0≦x≦π の範囲での f⁡( x) の最大値および最小値を求めよ.
(3) 定積分 ∫0πf ⁡(x) ⁢dx を求めよ.
2024-10007-0102
【2】 a , b を定数とし,関数 f⁡ (x) を f⁡( x)=x2 +2⁢a⁢x+ b と定める.
(1) a2-b= 0 とする.不定積分 ∫ 1f⁡ (x) ⁢dx を求めよ.
(2) a2-b> 0 とする. α>β を満たす定数 α , β に対して f⁡( x)=( x+α)⁢ (x+β ) とする.このとき, α と β を a と b を用いて表せ.
(3) (2)の条件のもとで,不定積分 ∫ 1f⁡ (x) ⁢dx を a , b を用いて表せ.
2024-10007-0103
【3】 数列 { an} の初項から第 n 項までの和 Sn が Sn =n-1 2⁢an を満たすとする.
(1) an+1 を an を用いて表せ.
(2) 数列 {a n} の一般項を求めよ.
(3) 数列 { an} の極限を求めよ.
2024-10007-0104
【4】 複素数平面上の点 z に対し
w=z -iz+i
と定める.ただし, i は虚数単位とし, z≠-i とする.
(1) z を w を用いて表せ.
(2) 点 z が原点 O を中心とする半径 1 の円上を動くとき,点 w はどのような図形を描くか.
(3) 点 w が点 -1+2 ⁢i を中心とする半径 2 の円上を動くとき,点 z はどのような図形を描くか.
2024-10007-0105
【5】 t を正の実数とし, 4 点 O (0,0 ,0), A (4⁢2 ,0,0 ), B (0,1, 1), P (2, 3⁢t,-3 ⁢t) を頂点とする四面体を考える.また,辺 AP を 2:1 に内分する点を Q とする.
(1) OB→ が OA→ , OP→ の両方に垂直であることを示せ.
(2) AP→ と OQ→ が垂直となる t の値 t0 を求めよ.
(3) (2)の t0 に対して, t=t0 とする.四面体 OABP の体積を求めよ.