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【3】 を以上の整数とする.それぞれと書かれた枚のカードから無作為に枚抜き出し,カードをもとに戻す試行を考える.この試行を回繰り返し,抜き出したカードの文字を順に左から右に並べ,文字の文字列を作る.作った文字列内にの並びがある場合は不可とする.また,作った文字列内にの並びがある場合も不可とする.これらの場合以外は可とする.たとえばのとき,文字列やややなどは不可で,文字列やなどは可である.作った文字列が可でかつ右端の文字がである確率を作った文字列が可でかつ右端の文字がである確率を作った文字列が可でかつ右端の文字がである確率をとそれぞれおく.
(1) をそれぞれ求めよ.また,をを用いてそれぞれ表せ.
(2) をを用いて表せ.
(3) をを用いて表せ.ただし,は虚数単位である.
(4) を満たすための,の必要十分条件を求めよ.
【6】 空間内の平面上にある円および円板を考える.を底面とし点を頂点とする円錐をとする.とする.空間内の平面を考える.すなわち,は平面上の直線と線分をともに含む平面である.の側面との交わりとしてできる曲線をとする.を満たす実数に対し,円上の点をとり,線分との共有点をとする.
(1) 線分の長さをとおく.をを用いて表せ.
(2) 円錐の側面のうち,曲線の点から点までを結ぶ部分,線分および線分により囲まれた部分の面積をとおく.と実数が条件を満たすとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
(3) 円錐の側面のうち,円のの部分と曲線により囲まれた部分の面積をとおく.を求めよ.必要であればとおく置換積分を用いてもよい.
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