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2024-10262-0101
2024 東京医科歯科大学 前期
医学科
歯,保健衛生(検査技術)学科【1】の類題
易□ 並□ 難□
【1】 n を 2 以上の自然数とする.自然数の組 ( a1,a 2,⋯, an) を解とする方程式
(*) a1+a 2+⋯+ an =a1× a2×⋯ ×an
を考えるとき,以下の各問いに答えよ.
(1) n=3 のとき,(*)の解 ( a1,a2 ,a3 ) のうち, a1≦a 2≦a3 を満たすものをすべて求めよ.
(2) n≧3 のとき,(*)の任意の解 ( a1,a2 ,⋯,an ) において, ai=1 となる i が少なくとも 1 つ存在することを示せ.
(3) (*)のある解 ( a1,a2 ,⋯,an ) において, ai=1 となる i がちょうど 2 個存在しているとする.このとき, n の取り得る値をすべて求めよ.
2024-10262-0102
医,歯,保健衛生(検査技術)学科共通
【2】 x⁣y⁣ z 空間において,点 A (1,0 ,0), B (0,1, 0), C (-1,0 ,0), D (0,0, 1) をとり,線分 CD の中点を M とする.さらに, N を線分 BD 上の点とする.また, z 軸と平行でない直線上の異なる 2 点 P (x,y, z), Q (x′ ,y′, z′) に対して,
z′ -z( x′-x )2+ (y′- y)2
をベクトル PQ→ の勾配と呼ぶ. AN→ の勾配を t1 , NM→ の勾配を t2 とするとき,以下の各問いに答えよ.
(1) t2=0 となるように N をとったとき, t1 の値を求めよ.
(2) l=| AN→| +|NM →| とし, l が最小となるように N をとったとき, l の値を求めよ.
(3) 0≦t2 ≦t1 となるように N をとったとき, N の y 座標を s とする. s がとり得る値の範囲を求めよ.
2024-10262-0103
歯,保健衛生(検査技術)学科【3】の類題
【3】 f⁡(x ) を連続関数とするとき,次の各問いに答えよ.
(1) 次の等式を示せ.
∫0 π2 f⁡(sin ⁡2⁢x) ⁢sin⁡x⁢ dx= ∫0π2 f⁡( sin⁡2⁢x )⁢cos⁡ x⁢dx
(2) 次の等式を示せ.
∫0 π2f⁡ (sin⁡2 ⁢x)⁢ (sin⁡x+ cos⁡x)⁢ dx = ∫-1 1f⁡( 1-t2 )⁢dt
(3) 次の定積分の値を求めよ.
∫0 π2 sin⁡x1+ sin⁡2⁢x ⁢dx
2024-10262-0104
歯,保健衛生(検査技術)学科
医学科【1】の類題
(1) n=2 のとき,(*)の解 (a 1,a2 ) をすべて求めよ.
(2) n=3 のとき,(*)の解 ( a1,a2 ,a3 ) のうち, a1≦a 2≦a3 を満たすものをすべて求めよ.
(3) (*)の解 ( a1,a 2,⋯, an) が a1 ≦a2≦ ⋯≦a n をみたすとき,
a1×a 2×⋯× an-1 ≦n
となることを示せ.
(4) n≧3 のとき,(*)の任意の解 ( a1,a2 ,⋯,an ) において, ai=1 となる i が少なくとも 1 つ存在することを示せ.
2024-10262-0105
医学科【3】の類題
(1) 関数 y=tan ⁡x2 の導関数 dy dx を cos⁡x を用いて表せ.
(3) 次の等式を示せ.
(4) 次の定積分の値を求めよ.