2024　東京工業大学　前期

【１】　$xy$平面上の曲線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$に，点$(a,{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2)$$\text{（}a>0\text{）}$で接する円のうち，$y$軸の正の部分にも接するものを$S_a$とおく．$a$が正の実数を動くときの$S_a$の中心の軌跡を$C\text{，}$とくに$S_1$の中心を$\mathrm{P}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線の傾きを求めよ．

【２】　実数全体を定義域にもつ微分可能な関数$f(t)\text{，}$$g(t)$が次の$6$つの条件を満たしているとする．

$f^{\prime }(t)=-f(t)g(t)\text{，}$$g^{\prime }(t)={\{f(t)\}}^2\text{，}$

$f(t)>0\text{，}$$|g(t)|<1\text{，}$$f(0)=1\text{，}$$g(0)=0\text{．}$

このとき，

$p(t)={\{f(t)\}}^2+{\{g(t)\}}^2\text{，}$$q(t)=\log {\displaystyle \frac{1+g(t)}{1-g(t)}}$

とおく．

(1)　$p^{\prime }(t)$を求めよ．

(2)　$q^{\prime }(t)$は定数関数であることを示せ．

(3)　$\underset{t\to \infty }{\lim }g(t)$を求めよ．

(4)　$f(T)=g(T)$となる正の実数$T$に対して，媒介変数表示された平面曲線$(x,y)=(f(t),g(t))$$\text{（}0\leqq t\leqq T\text{）}$の長さを求めよ．

【３】　$xy$平面上に，点$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,b)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-a,0)$（ただし$0<a<b\text{）}$をとる．点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線を$l$とし，点$\mathrm{C}$を通り線分$\mathrm{BC}$に垂直な直線を$k$とする．さらに，点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線と直線$k$との交点を${\mathrm{C}}_1$とし，点${\mathrm{C}}_1$を通り$x$軸に平行な直線と直線$l$との交点を${\mathrm{A}}_1$とする．以下，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，点${\mathrm{A}}_n$を通り$y$軸に平行な直線と直線$k$との交点を${\mathrm{C}}_{n+1}\text{，}$点${\mathrm{C}}_{n+1}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$l$との交点を${\mathrm{A}}_{n+1}$とする．

(1)　点${\mathrm{A}}_n\text{，}$${\mathrm{C}}_n$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵}\mathrm{C}\mathrm{B}{\mathrm{A}}_n$の面積$S_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{B}{\mathrm{A}}_n}{\mathrm{BC}}}$を求めよ．

【４】　$n$を正の整数とし，${\mathrm{C}}_1\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{C}}_n$を$n$枚の硬貨とする．各$k=1\text{，}\cdots \text{，}$$n$に対し，硬貨${\mathrm{C}}_k$を投げて表が出る確率を$p_k\text{，}$裏が出る確率を$1-p_k$とする．この$n$枚の硬貨を同時に投げ，表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功，というゲームを考える．

(1)　$p_k={\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{（}k=1\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$のとき，このゲームで成功する確率$X_n$を求めよ．

(2)　$p_k={\displaystyle \frac{1}{2(k+1)}}$$\text{（}k=1\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$のとき，このゲームで成功する確率$Y_n$を求めよ．

(3)　$n=3m$$\text{（}m$は正の整数）で，$k=1\text{，}\cdots \text{，}$$3m$に対して

$p_k=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3m}}& \text{（}k=1\text{，}\cdots \text{，}m\text{）}\\ {\displaystyle \frac{2}{3m}}& \text{（}k=m+1\text{，}\cdots \text{，}2m\text{）}\\ {\displaystyle \frac{1}{m}}& \text{（}k=2m+1\text{，}\cdots \text{，}3m\text{）}\end{array}$

とする．このゲームで成功する確率を$Z_{3m}$とするとき，$\underset{m\to \infty }{\lim }{Z}_{3m}$を求めよ．

【５】　整数の組$(a,b)$に対して$2$次式$f(x)=x^2+ax+b$を考える．方程式$f(x)=0$の複素数の範囲のすべての解$\alpha$に対して${\alpha }^n=1$となる正の整数$n$が存在するような組$(a,b)$をすべて求めよ．