2024　滋賀大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を等比数列，数列$\{b_n\}$を等差数列とし，数列$\{c_n\}$を$c_n=a_n{b}_n$で定める．$\{a_n\}$の初項が$1\text{，}$公比が$2$であり，$c_2=12\text{，}$$c_4=112$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

(2)　$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_k$を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{M}\text{，}$直線$\mathrm{OM}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<s<1\text{，}$$0<t<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\mathrm{▵OAB}$の面積を$1$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$s\text{，}$$t\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵OAR}$の面積を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　$s=t$のとき，$\mathrm{▵MAB}$の面積が${\displaystyle \frac{1}{3}}$となるように$s$の値を定めよ．

【３】　点$\mathrm{P}$は，数直線上の原点$\mathrm{O}$から出発し，さいころを$1$回投げるごとに，出た目が$5$以上ならば$+2$だけ，$4$以下ならば$-1$だけ移動する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　さいころを$3$回投げて，$\mathrm{P}$が原点にいる確率を求めよ．

(2)　さいころを$6$回投げて，$\mathrm{P}$は原点にいた．このとき，$3$回投げた時点でも$\mathrm{P}$が原点にいた確率を求めよ．

(3)　さいころを$6$回投げて，$\mathrm{P}$の座標が$9$以上になる確率を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　さいころを$6$回投げたとき，$5$以上の目が出る回数が$1$回以下である確率を求めよ．

(2)　さいころを$600$回投げたとき，$5$以上の目が出る回数の期待値と標準偏差を求めよ．

(3)　さいころを$600$回投げたとき，$5$以上の目が出る回数が$180$回以下である確率を，正規分布による近似を用いて求めよ．なお，$\sqrt{3}=1.73$とし，付表の正規分布表を利用してよい．

【５】　$f(x)=4x^3+|4x^2-1|$とし，$y=f(x)$のグラフを$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，$C$の概形をかけ．

(2)　直線$y=x$と$C$の共有点の座標をすべて求めよ．

(3)　直線$y=x+k$と$C$の共有点の個数が$4$個となるような，定数$k$の値を求めよ．

【６】　曲線$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+{\displaystyle \frac{y^2}{6}}=1$上に点$\mathrm{P}$$(a,b)$をとる．ただし，$b\ne 0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a=1\text{，}$$b=2$のとき，$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$における$C$の接線が曲線$y={\displaystyle \frac{x^2}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}$と接するとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．