2024　広島大学　後期理学部数学科

【１】　$\theta$は$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とし，$t=\tan \theta$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$\cos 2\theta$と$\sin 2\theta$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(2)　$t$が有理数であることは，$\cos 2\theta$と$\sin 2\theta$がともに有理数であるための必要十分条件であることを示せ．

【２】　座標空間内に，$6$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,-1,0)\text{，}$$\mathrm{E}$$(0,0,-1)\text{，}$$\mathrm{F}$$(-1,0,0)$を頂点とする正八面体$X$が与えられている．また，座標空間の原点を$\mathrm{O}$とする．また，点$\mathrm{M}$を三角形$\mathrm{ABC}$の重心とし，点$\mathrm{P}$を正八面体$X$の内部の点とする．ただし，点$\mathrm{P}$は正八面体$X$の面または辺上にはなく，またどの頂点にも一致しないものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(2)　四面体$\mathrm{PABC}$の体積は，ベクトルの内積を用いて${\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PM}}$と表されることを示せ．

(3)　四つの四面体$\mathrm{PABC}\text{，}$$\mathrm{PADE}\text{，}$$\mathrm{PFDC}\text{，}$$\mathrm{PFBE}$の体積の和は，点$\mathrm{P}$の取り方によらず一定であることを示せ．

【３】　$\{a_n\}$を各項が自然数である数列，$\{b_n\}$を各項が実数である数列とする．また，数列$\{c_n\}$を，

$c_n=b_{a_n}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

として定める．たとえば，数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を

$a_n=2n+1\text{，}$$b_n=3n+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

として定めるとき，$a_1=3$であるから$c_1=b_3=10$であり，$a_2=5$であるから$c_2=b_5=16$である．以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を

$a_n=2n+1\text{，}$$b_n=3n+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

として定めるとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$を各項が自然数である等差数列，数列$\{b_n\}$を等比数列とするとき，数列$\{c_n\}$は等比数列であることを示せ．

(3)

$b_n=3^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．$n$が$5$の倍数であるならば，$b_n-1$は$11$の倍数になることを示せ．

(4)

$a_n=2^n\text{，}$$b_n=3^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定めるとき，$c_{2024}$を$11$で割ったときの余りを求めよ．

【４】　$6$枚のカードが袋に入っており，$1$枚に$1$文字ずつ，$\text{「}1\text{」，}$$\text{「}2\text{」，}$$\text{「}3\text{」，}$$\text{「}4\text{」，}$$\text{「}5\text{」，}$「終」とそれぞれ書かれている．袋から$1$枚ずつカードを取り出して，別に準備した箱に移動していき，「終」と書かれたカードが出たらそこで終了して，それまでに箱に移されたカードに書かれた数字の集合を記録する，という試行$\mathrm{T}$を考える．$\mathrm{A}$さんがこの試行$\mathrm{T}$を行って記録した数字の集合を$S_{\mathrm{A}}$とする．$S_{\mathrm{A}}$は$\{1,2,3,4,5\}$の部分集合である．たとえば，$\mathrm{A}$さんが最初に「終」のカードを取り出したら，$S_{\mathrm{A}}$は空集合である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$S_{\mathrm{A}}$が$3$個の要素からなる確率を求めよ．

(2)　$1$が$S_{\mathrm{A}}$の要素である確率を求めよ．また，$1$と$2$がともに$S_{\mathrm{A}}$の要素である確率を求めよ．

(3)　$1$が$S_{\mathrm{A}}$の要素であるとき，$2$が$S_{\mathrm{A}}$の要素でない条件付き確率を求めよ．

(4)　$S_{\mathrm{A}}$が$\{1,2,3,4\}$を含む確率を求めよ．

(5)　$\mathrm{B}$さんも試行$\mathrm{T}$を行った．$\mathrm{B}$さんが記録した数字の集合を$S_{\mathrm{B}}$とする．$S_{\mathrm{A}}$が$S_{\mathrm{B}}$を含む確率を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　座標平面上に$2$点$\mathrm{P}$$(\sqrt{3},0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(-\sqrt{3},0)$が与えられている．次の条件(＊)を満たす座標平面上の点$\mathrm{R}$全体がなす図形を$A$とする．

(＊)　$\{\begin{array}{l}\text{点}\mathrm{R}\text{は}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{のどちらかと一致するか，}\\ \text{あるいは}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{のどちらとも異なり，}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \mathrm{\angle PRQ}\text{を満たす．}\end{array}$

図形$A$を図示せよ．

(2)　(1)の図形$A$を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形を$B$とする．図形$B$の体積を求めよ．

(3)　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に点$\mathrm{S}$$(1,2,2)$が与えられている．次の条件(＊＊)を満たす座標空間内の点$\mathrm{T}$全体がなす図形を$C$とする．

(＊＊)　$\{\begin{array}{l}\text{点}\mathrm{T}\text{は}\mathrm{O}\text{，}\mathrm{S}\text{のどちらかと一致するか，}\\ \text{あるいは}\mathrm{O}\text{，}\mathrm{S}\text{のどちらとも異なり，}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \mathrm{\angle OTS}\text{を満たす．}\end{array}$

図形$C$の体積を求めよ．