2024　広島大学　後期理学部物理学科総合問題

【１】

問１　次の関数において，導関数${\displaystyle \frac{df(x)}{\mathit{dx}}}$を求めよ．

(1)　$f(x)=e^{ax}$

【１】

問１　次の関数において，導関数${\displaystyle \frac{df(x)}{\mathit{dx}}}$を求めよ．

(2)　$f(x)=\sqrt{x^2+1}$

【１】

問１　次の関数において，導関数${\displaystyle \frac{df(x)}{\mathit{dx}}}$を求めよ．

(3)　$f(x)={\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}}$

【１】

問１　次の関数において，導関数${\displaystyle \frac{df(x)}{\mathit{dx}}}$を求めよ．

(4)　$f(x)=\tan {\displaystyle \frac{1}{2x}}$

【１】

問２　$x_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{n}{2}}}{\cos }^n\theta \mathit{d\theta }\text{，}$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x_0\text{，}$$x_1$を求めよ．

(2)　$n$が$2$以上の整数であるとき，$x_n={\displaystyle \frac{n-1}{n}}{x}_{n-2}$であることを示せ．

(3)　$n$が$1$以上の整数であるとき，$n{x}_n{x}_{n-1}$の値を求めよ．

(4)　数列$\{x_n\}$は単調減少する数列であることを示せ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{x}_n$を求めよ．