2024　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】(1)　$4$個のさいころを同時に投げるとき，出た目の積が偶数になる確率は$\text{(ア)}$であり，出た目の積が$4$の倍数になる確率は$\text{(イ)}$である．

【１】(2)　$0\leqq x<\pi$のとき，方程式$\cos 3x+\cos x=0$の解は$x=\text{(ウ)}$である．

【１】(3)　不等式${({\log }_{4}x)}^2-{\log }_8{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}<0$を解くと$\text{(エ)}$である．

【１】(4)　円$x^2+y^2-4x+10y+11=0$を$C$とするとき，円$C$の中心の座標は$\text{(オ)}$であり，半径は$\text{(カ)}$である．また，この円$C$には点$\mathrm{P}$$(3,2)$から$2$本の接線を引くことができるが，その接点の$1$つを$\mathrm{A}$とする．このとき，線分$\mathrm{AP}$の長さは$\mathrm{AP}=\text{(キ)}$である．

【２】(1)　$1$辺の長さが$2$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{BE}$と直線$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\text{(ク)}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\text{(ケ)}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\text{(コ)}$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}$の値は$\text{(サ)}$である．

【２】(2)　$m$を実数とする．$x$の$2$次方程式

$x^2+mx+m+3=0$

が異なる$2$つの虚数解をもつような$m$の値の範囲は$\text{(シ)}$であり，異なる$2$つの正の解をもつような$m$の値の範囲は$\text{(ス)}$である．

【２】(3)　$\sqrt{2}$が無理数であることの証明を解答欄(3)に記述しなさい．

【３】　数列

${\displaystyle \frac{0}{1}},{\displaystyle \frac{1}{1}},{\displaystyle \frac{0}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{2}{2}},$${\displaystyle \frac{0}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{3}{3}},$${\displaystyle \frac{0}{4}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{2}{4}},{\displaystyle \frac{3}{4}},{\displaystyle \frac{4}{4}},$${\displaystyle \frac{0}{5}},\cdots$

の第$n$項を$a_n$とする．

(1)　約分することで$a_n=1$を満たす自然数$n$のうち，$k$番目に小さいものを$N_k$で表す．例えば，$N_1=2\text{，}$$N_2=5$である．このとき，自然数$k$に対して，$N_k$を$k$を用いて表すと$N_k=\text{(セ)}$である．また，自然数$k$に対して，数列$\{a_n\}$の初項から第$N_k$項までの和を$k$を用いて表すと$\text{(ソ)}$である．

(2)　約分することで$a_n={\displaystyle \frac{1}{4}}$を満たす自然数$n$のうち，$k$番目に小さいものを$M_k$で表す．例えば，$M_1=11\text{，}$$M_2=\text{(タ)}$である．このとき，自然数$k$に対して，$M_k$を$k$を用いて表すと$M_k=\text{(チ)}$である．

(3)　$a_{200}$を約分した形で表すと$a_{200}=\text{(ツ)}$である．また，数列$\{a_n\}$の初項から第$200$項までの和は$\text{(テ)}$である．

【４】　関数$f(x)$を

$f(x)=x^2(x-3)$

で定める．以下に答えなさい．

(1)　関数$f(x)$は$x=\text{(ト)}$で極小値$\text{(ナ)}$をとる．

(2)　曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{A}$$(0,1)$から曲線$C$へは$2$本の接線が引ける．そのうち，傾きが正の接線を$l$とし，傾きが負の接線を$m$とするとき，直線$l$の方程式は$y=\text{(ニ)}$であり，直線$m$の方程式は$y=\text{(ヌ)}$である．

(3)　曲線$C$と直線$l$の接点$\mathrm{P}$の$x$座標は$\text{(ネ)}$である．また，曲線$C$と直線$l$は$2$つの共有点をもつが，点$\mathrm{P}$とは異なる共有点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\text{(ノ)}$である．さらに，曲線$C$と直線$l$で囲まれた図形の面積は$\text{(ハ)}$である．

【５】　右図は，あるクラスの$40$人の生徒の数学と理科の試験得点の散布図である．データ点の近くの数値はそのデータ点の生徒の出席番号である．

(1)　数学と理科の合計得点が最も高い生徒の出席番号は$\text{(ヒ)}$である．また，数学と理科の得点差の絶対値が最も大きい生徒の出席番号は$\text{(フ)}$である．

(2)　数学と理科それぞれの得点の平均値を$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}\text{，}$標準偏差を$s_x\text{，}$$s_y\text{，}$数学と理科の得点の共分散を$s_{xy}$と表すと，これらの数値は以下であった．

$\bar{x}=67.7\text{，}$$\bar{y}=70.9\text{，}$$s_x=14.9\text{，}$$s_y=11.5\text{，}$$s_{xy}=115.7$

数学の得点と理科の得点の相関係数は$\text{(ヘ)}$である．なお，答えは小数第$3$位を四捨五入し，小数第$2$位まで求めなさい．

(3)　各生徒の数学の得点を$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_{40}\text{，}$理科の得点を$y_1\text{，}$$y_2\text{，}\cdots \text{，}$$y_{40}$で表す．数学と理科の合計得点$x_1+y_1\text{，}$$x_2+y_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_{40}+y_{40}$の平均値は，$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}$を用いると$\text{(ホ)}$と表せる．合計得点の分散は，

${\displaystyle \frac{1}{40}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{40}}{(x_i+y_i-\text{(ホ)})}^2$

であるから，これを式変形すると，合計得点の分散は，$s_x\text{，}$$s_y\text{，}$$s_{xy}$を用いて$\text{(マ)}$と表せる．これらの式に(2)で与えられた数値を入れて計算すると，数学と理科の合計得点の平均値は$\text{(ミ)}\text{，}$分散は$\text{(ム)}$である．なお，答えは小数第$2$位を四捨五入し，小数第$1$位まで求めなさい．