2024　慶応義塾大学　理工学部

【１】(1)　$2024$の約数の中で$1$番大きいものは$2024$だが，$6$番目に大きいものは$\text{(ア)}$である．$2024$の$6$乗根に最も近い自然数は$\text{(イ)}$である．

【１】(2)　関数$f(x)$は実数全体で定義されており，$x\leqq 2$において

${\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}x\leqq f(x)\leqq 2-x$

を満たしているものとする．数列$\{a_n\}$は漸化式

$a_{n+1}=a_n+f(a_n)$

を満たしているものとする．

(ⅰ)　$a_1\leqq 2$ならば，すべての自然数$n$に対して$a_1\leqq a_n\leqq 2$となることを証明しなさい．

(ⅱ)　$a_1\leqq 2$ならば，$a_1$の値によらず$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=2$となることを証明しなさい．

【２】　$3$つのタイプのコインがある．タイプⅠは，両面に$\mathrm{H}$が書かれている．タイプⅡは，両面に$\mathrm{T}$が書かれている．タイプⅢは，片面に$\mathrm{H}\text{，}$もう片面に$\mathrm{T}$が書かれている．袋の中にタイプⅠのコインが$1$枚，タイプⅡのコインが$2$枚，タイプⅢのコインが$3$枚入っている．袋の中からコインを$1$枚取り出す．

(1)　取り出したコインを投げたとき，$\mathrm{H}$が出る確率は$\text{(ウ)}$である．

(2)　取り出したコインを投げて$\mathrm{H}$が出たという条件の下で，そのコインがタイプⅢである条件付き確率は$\text{(エ)}$である．

(3)　取り出したコインを$2$回投げたときに$2$回とも$\mathrm{T}$が出たという条件の下で，そのコインがタイプⅡである条件付き確率は$\text{(オ)}$である．

(4)　取り出したコインを$2$回投げたとき，その結果からコインのタイプが分かる確率は$\text{(カ)}$である．

(5)　$n$を$2$以上の自然数とする．取り出したコインを$n$回投げたとき，その結果からコインのタイプが分からない確率は$\text{(キ)}$である．

【３】　連続関数$f(x)$は$f(x)>0$を満たし，$1\leqq x\leqq 3$で単調に減少するものとする．$a$を実数とし，$S$を

$S={\displaystyle {\int }_0^3}|f(x)-ax|\mathit{dx}$

と定める．

(1)　$I={\displaystyle {\int }_1^3}f(x)\mathit{dx}$と定める．$I$と$a$を用いて$S$を表すと，$a\leqq {\displaystyle \frac{f(3)}{3}}$のとき$S=\text{(ク)}$となり，$a\geqq f(1)$のとき$S=-\text{(ク)}$となる．

(2)　$a$が${\displaystyle \frac{f(3)}{3}}<a<f(1)$を満たしているとき，$1<x<3$の範囲で方程式$f(x)-ax=0$は解をただ$1$つ持つことを証明しなさい．

(3)　$a$は${\displaystyle \frac{f(3)}{3}}<a<f(1)$を満たしているとする．$1<x<3$の範囲にある方程式$f(x)-ax=0$の解を$x=t$とおく．このとき，$a$を関数$f(x)$と実数$t$を用いて表すと$a=\text{(ケ)}$となる．また，関数$F(x)={\displaystyle {\int }_1^x}f(s)\mathit{ds}$と，$t$に関する分数式$q(t)=\text{(コ)}$を用いて，$S=2F(t)-F(3)+q(t)f(t)$と表される．

(4)　$F(x)$を(3)で定めた関数，$t_0$を$1<t_0<3$を満たす実数とする．$1\leqq x\leqq 3$を満たすすべての実数$x$に対し$F(x)-F(t_0)\geqq (x-t_0)f(x)$が成り立つことを証明しなさい．

(5)　$p(x)$を$1\leqq x\leqq 3$で$p^{″}(x)>0$を満たす分数関数とし，$t_0$を$1<t_0<3$を満たす実数とする．$p(t_0)=0$かつ$p^{\prime }(t_0)=\text{(サ)}$ならば，$1\leqq x\leqq 3$を満たすすべての実数$x$に対し$2(x-t_0)f(x)+p(x)f(x)\geqq 0$が成り立つ．

(6)　$a=\text{(シ)}$のときに，$S$は最小になる．

【４】　平行六面体$\mathrm{OAGB‐CDEF}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=-1\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=0$とする．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\text{(ス)}$である．頂点$\mathrm{C}$から$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る平面に垂線を下ろし，この平面との交点を$\mathrm{H}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}=\text{(セ)}\overrightarrow{a}+\text{(ソ)}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$である．四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\text{(タ)}$である．

　辺$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{I}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{J}\text{，}$辺$\mathrm{BF}$の中点を$\mathrm{K}$とする．ただし，$0<t<1$とする．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{JI}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{JK}}=\text{(チ)}$であり，三角形$\mathrm{IJK}$の面積は$\text{(ツ)}$である．

(3)　$3$点$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{J}\text{，}$$\mathrm{K}$を通る平面が辺$\mathrm{DE}$と共有点を持つのは，$\text{(テ)}\leqq t<1$のときである．

【５】　複素数平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_1\text{，}$および$C_1$に内接する半径$r$$\text{（}0<r<1\text{）}$の円$C_2$を考える．$C_2$上に点$\mathrm{P}$を固定し，$\mathrm{P}$の位置を表す複素数が$1$になるように$C_2$を配置する．時刻$t=0$から$C_2$を$C_1$に沿ってすべることなく回転させる．ただし，$C_1$と$C_2$の接点は$C_1$上を反時計回りに速さ$1$で移動するものとする．すなわち時刻$t\geqq 0$における$C_1$と$C_2$の接点を表す複素数は$\cos t+i\sin t$である．

(1)　$\mathrm{P}$が$C_1$上に位置するような時刻$t>0$で最小のものは$t=\text{(ト)}$である．

(2)　時刻$t\geqq 0$における$C_2$の中心を表す複素数を$w(t)\text{，}$$\mathrm{P}$の位置を表す複素数を$z(t)$とすると，$w(t)=\text{(ナ)}\text{，}$$z(t)=w(t)+\text{(ニ)}$である．

(3)　時刻$0$から時刻$\text{(ト)}$の間に$\mathrm{P}$が動く道のりは$\text{(ヌ)}$である．

(4)　時刻$0$から時刻$t>0$の間に$\mathrm{P}$が動く道のりを$l(t)$とすると，$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{l(t)}{t}}=\text{(ネ)}$である．