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【2】 つのタイプのコインがある.タイプⅠは,両面にが書かれている.タイプⅡは,両面にが書かれている.タイプⅢは,片面にもう片面にが書かれている.袋の中にタイプⅠのコインが枚,タイプⅡのコインが枚,タイプⅢのコインが枚入っている.袋の中からコインを枚取り出す.
(1) 取り出したコインを投げたとき,が出る確率はである.
(2) 取り出したコインを投げてが出たという条件の下で,そのコインがタイプⅢである条件付き確率はである.
(3) 取り出したコインを回投げたときに回ともが出たという条件の下で,そのコインがタイプⅡである条件付き確率はである.
(4) 取り出したコインを回投げたとき,その結果からコインのタイプが分かる確率はである.
(5) を以上の自然数とする.取り出したコインを回投げたとき,その結果からコインのタイプが分からない確率はである.
【3】 連続関数はを満たし,で単調に減少するものとする.を実数とし,を
と定める.
(1) と定める.とを用いてを表すと,のときとなり,のときとなる.
(2) がを満たしているとき,の範囲で方程式は解をただつ持つことを証明しなさい.
(3) はを満たしているとする.の範囲にある方程式の解をとおく.このとき,を関数と実数を用いて表すととなる.また,関数と,に関する分数式を用いて,と表される.
(4) を(3)で定めた関数,をを満たす実数とする.を満たすすべての実数に対しが成り立つことを証明しなさい.
(5) をでを満たす分数関数とし,をを満たす実数とする.かつならば,を満たすすべての実数に対しが成り立つ.
(6) のときに,は最小になる.