2024　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】(1)　$x\text{，}$$y$を正の実数とするとき

$27x+{\displaystyle \frac{3x}{y^2}}+{\displaystyle \frac{2y}{x}}$

は，$x={\displaystyle \frac{\text{(1)}\text{(2)}}{\text{(3)}\text{(4)}}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{\text{(5)}\text{(6)}}{\text{(7)}\text{(8)}}}$において最小値$\text{(9)}\text{(10)}$をとる．

【１】(2)　実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が

$\{\begin{array}{l}x>1\text{，}y>1\text{，}z>1\\ {\log }_{x}y+{\log }_{y}x+{\log }_{y}z+4{\log }_{z}y\leqq 6\\ 4xz+3x-7y-5z=-5\end{array}$

を満たしているとき

$x={\displaystyle \frac{\text{(11)}\text{(12)}}{\text{(13)}\text{(14)}}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{\text{(15)}\text{(16)}}{\text{(17)}\text{(18)}}}\text{，}$$z={\displaystyle \frac{\text{(19)}\text{(20)}}{\text{(21)}\text{(22)}}}$

である．

【２】　$b_k$を正の整数，$b_{k-1}\text{，}\cdots \text{，}$$b_1\text{，}$$b_0$を負でない整数とする$\text{（}k$は負でない整数であり，$k=0$のときは正の整数$b_0$のみを考える）．正の整数$n$に対して，$b_k\text{，}$$b_{k-1}\text{，}\cdots \text{，}$$b_1\text{，}$$b_0$が

$2^k{b}_k+2^{k-1}{b}_{k-1}+\cdots +2^2{b}_2+2b_1+b_0$$={\displaystyle \sum _{i=0}^k{2}^i{b}_i=n}$

を満たすとき，$⟨b_k,b_{k-1},\cdots ,b_1,b_0⟩$を$n$の$2$べき乗表現と呼ぶことにする．これは$2$進法による数の表現と似ているが，$2$進法の場合とは異なり，$b_i$$\text{（}i=0\text{，}$$1\text{，}\cdots \text{，}$$k\text{）}$は$2$以上の値も取りうる．そのため$n\geqq 2$において，$n$の$2$べき乗表現は$1$通りではない．

(1)　$n=3$の$2$べき乗表現は，$⟨3⟩$と$⟨\text{(23)},\text{(24)}⟩$の$2$通りである．

(2)　$⟨3,2,1⟩$は$n=\text{(25)}\text{(26)}$の$2$べき乗表現である．

(3)　$m$を正の整数とするとき，$1$から$m$までの整数を順番に並べた$⟨1,2,\cdots ,m⟩$は

$2^{(m+\text{(27)}\text{(28)})}+\text{(29)}\text{(30)}m+\text{(31)}\text{(32)}$

の$2$べき乗表現である．

(4)　$n$の$2$べき乗表現の個数を$a_n$とすると

$a_4=\text{(33)}\text{(34)}\text{，}$$a_5=\text{(35)}\text{(36)}\text{，}$$a_6=\text{(37)}\text{(38)}\text{，}\cdots \text{，}$$a_{10}=\text{(39)}\text{(40)}\text{，}\cdots \text{，}$$a_{20}=\text{(41)}\text{(42)}$

である．

【３】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|$$=\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|$$=\left|\overrightarrow{\mathrm{BD}}\right|$$=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|=5$であるとき

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}={\displaystyle \frac{\text{(43)}\text{(44)}}{\text{(45)}\text{(46)}}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}={\displaystyle \frac{\text{(47)}\text{(48)}}{\text{(49)}\text{(50)}}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=\text{(51)}\text{(52)}$

である．ここで，頂点$\mathrm{D}$から$\mathrm{▵ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}={\displaystyle \frac{\text{(53)}\text{(54)}}{\text{(55)}\text{(56)}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\text{(57)}\text{(58)}}{\text{(59)}\text{(60)}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

とあらわすことができる．垂線$\mathrm{DH}$の長さは

${\displaystyle \frac{\text{(61)}\text{(62)}}{\text{(63)}\text{(64)}}}\sqrt{\text{(65)}\text{(66)}}$

であるから，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は

${\displaystyle \frac{\text{(67)}\text{(68)}}{\text{(69)}\text{(70)}}}\sqrt{\text{(71)}\text{(72)}}$

である．

【４】　互いに直交する$x$軸，$y$軸，$z$軸をもつ座標空間を$xyz$空間と呼ぶ．

(1)　$xyz$空間において，不等式

$x^2+y^2+z^2\leqq \left|x\right|$

が定める立体の体積は${\displaystyle \frac{\text{(73)}\text{(74)}}{\text{(75)}\text{(76)}}}\pi$である．また，原点を中心とする球面がこの立体と共有点をもつとき，球面の半径の最大値は$\text{(77)}\text{(78)}$である．

(2)　$xyz$空間において，不等式

$x^2+y^2+z^2\leqq \left|x\right|+\left|y\right|$

が定める立体の体積は${\displaystyle \frac{\text{(79)}\text{(80)}}{\text{(81)}\text{(82)}}}\pi$である．また，原点を中心とする球面がこの立体と共有点をもつとき，球面の半径の最大値は$\sqrt{\text{(83)}\text{(84)}}$である．

(3)　$xyz$空間において，不等式

$x^2+y^2+z^2\leqq \left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

が定める立体の体積は$(\text{(85)}\text{(86)}+{\displaystyle \frac{\text{(87)}\text{(88)}}{\text{(89)}\text{(90)}}}\sqrt{\text{(91)}\text{(92)}})\pi$である．また，原点を中心とする球面がこの立体と共有点をもつとき，球面の半径の最大値は${\displaystyle \frac{\text{(93)}\text{(94)}}{\text{(95)}\text{(96)}}}\sqrt{\text{(97)}\text{(98)}}$$+{\displaystyle \frac{\text{(99)}\text{(100)}}{\text{(101)}\text{(102)}}}\sqrt{\text{(103)}\text{(104)}}$である（ただし，$\text{(97)}\text{(98)}<\text{(103)}\text{(104)}$とする）．

【５】(1)　$6$つの大学による野球の総当たり戦を考える．総当たり戦では，どの$2$つの大学も$1$試合ずつ対戦し，試合ごとに引き分けなしで勝敗が決定する．いま，各大学の実力は拮抗していて，勝敗の確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$ずつとする．このとき，全勝する大学が存在する確率は${\displaystyle \frac{\text{(105)}\text{(106)}}{\text{(107)}\text{(108)}}}\text{，}$全勝する大学と全敗する大学が両方存在する確率は${\displaystyle \frac{\text{(109)}\text{(110)}\text{(111)}}{\text{(112)}\text{(113)}\text{(114)}}}\text{，}$どの大学も$1$試合は勝って$1$試合は負ける確率は${\displaystyle \frac{\text{(115)}\text{(116)}\text{(117)}}{\text{(118)}\text{(119)}\text{(120)}}}$である．

(2)　$4$つの大学による野球の総当たり戦を考える．総当たり戦では，どの$2$つの大学も$1$試合ずつ対戦し，試合ごとに引き分けなしで勝敗が決定する．いま，$4$つの大学のうち$\mathrm{K}$大学の実力が他の$3$つの大学よりもまさっていて，$\mathrm{K}$大学が他の大学に勝つ確率は${\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}$負ける確率は${\displaystyle \frac{1}{4}}$とする．一方で，$\mathrm{K}$大学以外の$3$つの大学の実力は拮抗していて，これらの大学同士の勝敗の確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$ずつとする．このとき，全勝する大学が存在する確率は${\displaystyle \frac{\text{(121)}\text{(122)}}{\text{(123)}\text{(124)}}}\text{，}$全勝する大学と全敗する大学が両方存在する確率は${\displaystyle \frac{\text{(125)}\text{(126)}}{\text{(127)}\text{(128)}}}\text{，}$どの大学も$1$試合は勝って$1$試合は負ける確率は${\displaystyle \frac{\text{(129)}\text{(130)}}{\text{(131)}\text{(132)}}}$である．