1936　第七高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$x\text{，}y$に関する三つの方程式

が$x\text{，}y$の値の同じ組に対して成り立つやうに$k$の値を定めよ．又そのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

(編注)　n-44007226によれば第三式は

$(3k-1)x-2y=k-2$

【２】　$x(1-y)=y(1-z)=z(1-x)$なるときは$xyz=-1$なることを証明せよ．但し$x\text{，}y\text{，}z$は互いに相等しからざるものとす．

【３】　或人第一回目に初めの所持金の${\displaystyle \frac{1}{5}}$を費し，第二回目にその残金の${\displaystyle \frac{1}{5}}$を費し，第三回目には又第二回目の残金の${\displaystyle \frac{1}{5}}$を費し，順次かくの如く費すとき初めて残金が初めの所持金の${\displaystyle \frac{1}{100}}$より小となるは何回の後なるか．但し$\log 2=0.301\cdots$．

【４】　$x\text{，}y$に間する連立方程式$a{x}^2+b{y}^2=1\text{，}x-y=1$が二組の実根（$x=x_1\text{，}y=y_1$）及び（$x=x_2\text{，}y=y_2$）を有し，且つ$x_1+x_2=2y_1{y}_2$なる関係あるためには$a$及び$b$の間に如何なる関係あるを要するか．又そのときの$a\text{，}b$の限界を求めよ．

【５】　四辺形$\mathrm{ABCD}$に於て二辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$の長さは何れも$3$糎，対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$の長さは何れも$5$糎なりとす．二辺$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BC}$の長さを夫々$x$糎，$y$糎とするとき$x+y$の最小値及びそのときの四辺形の形を問ふ．

【６】　定三角形$\mathrm{ABC}$の外接円に点$\mathrm{A}$に於て切する任意の円を画き，二辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$（又はその延長）と交る点を夫々$\mathrm{D}$及び$\mathrm{E}$とす．今平行四辺形$\mathrm{ADFE}$を完成すれば$\mathrm{F}$は定直線上にあり．之を証明せよ．

【７】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，角$\mathrm{AMB}\text{，}$角$\mathrm{AMC}$の二等分線が$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$と交る点を夫々$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とすれば$\mathrm{DE}<\mathrm{BE}+\mathrm{CE}$なることを証明せよ．

【８】　与へられたる円内の与へられたる二点の各々を過り，此円の二つの平行なる弦を引き，その長さをして相等しからしめよ．