1936　浦和高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　整式$5x^4+(5p+2)x^3+(30p+5)x^2+(5p+2)x+5$を整式$5x^3+2x^2-3x+2$にて割りたるときの剰余が完全平方式となる様に$p$の値を定めよ．

【２】　公比$2\text{，}$項数$10$なる等比級数の各項の$2$を底とせる対数の和は$25$なり．此等比級数の和を問ふ．

【３】　$a+b\sqrt{3}$なる形の数あり．ここに$a\text{，}b$は整数とす．整式$x^3+x^2+x+1$の$x$に$2+\sqrt{3}$を代入して得たる数と$a+b\sqrt{3}$との和及び積は共に整数なりと云ふ．然るとき初めの数$a+b\sqrt{3}$を求めよ．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の内側及び辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$の外側に各辺を弦とし相似なる弓形を作り，底辺$\mathrm{BC}$の両端より此辺上の弓形の弧に切線$\mathrm{BD}\text{，}\mathrm{CE}$を引き，$\mathrm{BD}$と辺$\mathrm{AB}$上の弓形の弧又は其共軛弧との交点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{CE}$と辺$\mathrm{AC}$上の弓形の弧又は其共軛弧との交点を$\mathrm{E}$とすれば$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{E}$は一直線上にあることを証明せよ．

【５】　一点$\mathrm{I}$に於て外切する二円の半径の比は$3:1$なりとす．$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$は二つの共通外切線にしてそれらの大円との切点は$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{；}$小円との切点は$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}$なり．又$\mathrm{I}$に於ける共通内切線が$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$と交る点を夫々$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とすれば両四辺形$\mathrm{ACFE}\text{，}\mathrm{EFDB}$の面積の比如何．

【６】　等速にて正北に航行中の一汽船が或る時刻に，$5.43$浬を距つる二つの島を進路と一つは$57\mathrm{°}\text{，}$他は$70\mathrm{°}$をなせる方向に認めたり．それより$15$分の後に二島はちょうど正西に相重なりて見えたりと云ふ．此汽船の速さは毎時何浬（小数点第二位未満は四捨五入とす）なるか．但し$\tan 57\mathrm{°}=1.5399\text{，}\tan 70\mathrm{°}=2.7475$とす．