1936　富山高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　初項が正数にして項数が奇数なる等比級数ありて其の総和を$S$とす．今此の級数の相隣れる二項の間に其の二項の等差中項を一個づつ挿入しかくして作られたる等差中項のみより成る級数の総和を$T$とす．$S$と$T$との大小を比較せよ．

【２】　$a\text{，}b$は何れも正数にして$x={\displaystyle \frac{2ab}{b^2+1}}$なるとき${\displaystyle \frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}}$を簡単にせよ．

【３】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$とは定点にして$m$と$n$とは定数なるとき$\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=m:n$なる点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【１】　$n$が$1$より大なる正整数なるときは方程式$x^2-2nx+n-1=0$は有理数の根を有せざることを示せ．

【２】　${\displaystyle \frac{\sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{\sqrt{5+2\sqrt{6}}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}}}$の値を小数第五位まで計算せよ．

【３】　$x\text{，}y\text{，}z$が何れも正数にして$z\ne xy$及び$x^2+y^2+z^2-2xyz=1$なるときは$x$と$y$とは共に$1$より大なるか又は共に$1$より小なることを証せよ．

【４】　相交はる二つの定円あり．其の交点の一つ$\mathrm{A}$を通る直線が此の二定円と再び交はる点をそれぞれ$\mathrm{B}$及び$\mathrm{C}$とし此の直線に$\mathrm{AP}=\mathrm{BC}$なる様に点$\mathrm{P}$を取る．$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【５】　${\mathrm{XX}}^{\prime }$と${\mathrm{YY}}^{\prime }$とは互いに平行なる所設の二直線にして$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$とは此の二平行線間に在る所設の点なり．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$とをそれぞれ${\mathrm{XX}}^{\prime }$と${\mathrm{YY}}^{\prime }$との上に求めて$\mathrm{PQ}$を所設の直線${\mathrm{LL}}^{\prime }$に平行ならしめ且折線$\mathrm{APQB}$を最短ならしめよ．