1936　姫路高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　次の諸定理の各々につき正しきか否かを答えよ．若し正しからざるものあれば之を適当に訂正せよ（訂正の仕方色々ある場合には一つだけ書けばよし．又証明を要せず）．

(イ)　無理数と有理数との積は無理数なり．

(ロ)　$x\text{，}y$を任意の（実または虚の）数とする時$x^2+y^2+1\geqq 1$なり．

(ハ)　無理数と無理数との和は無理数なり．

(ニ)　二つの正整数の間に四則算法を行ふも其結果は整数なり．

(ホ)　二辺と一角が相等しき両三角形は合同なり．

【２】　$\sqrt{x^2-4x+3}$を虚数ならしむる$x$の実数値に対し四次式$(2x^2+2x+1)(x^2-2x-3)$の符号をしらべよ．

【３】　${\displaystyle \frac{a}{m}}$と${\displaystyle \frac{b}{n}}$との等差中項が${\displaystyle \frac{a+b}{m+n}}$に等しき時は${\displaystyle \frac{a}{m}}={\displaystyle \frac{b}{n}}$或は$m=n$なる事を証明せよ．

【４】　$\begin{array}{l}{x}^2+xy+y^2=84\\ x+\sqrt{xy}+y=14\end{array}\}$を解け．

【５】　鋭角$\alpha$につき次の事に答へよ．

(イ)　初項$1\text{，}$公比$-{\tan }^2\alpha$なる等比級数の$2n$項の和を求め之を$\tan \alpha$を用いず$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を用いて表はせ．

(ロ)　無限等比級数$1+\tan \alpha +{\tan }^2\alpha +{\tan }^3\alpha +\cdots$の和が存在するには（即ち収斂するには）$\alpha$はどんな範囲にあるを要するか．

【６】　四辺形の対辺の和が相等しき時之に内切して円を画き得る事を証明せよ．

【７】　四辺形$\mathrm{ABCD}$の対角$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}$の二等分線の交点$\mathrm{E}$が対角線$\mathrm{AC}$上にあれば，角$\mathrm{A}\text{，}$角$\mathrm{C}$の二等分線は対角線$\mathrm{BD}$上で交はる事を証明せよ．

【８】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$より対角線へ下せる垂線の足を夫々$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$とすれば四辺形$\mathrm{EFGH}$と$\mathrm{ABCD}$とは相似なる事を証明せよ．