1936　松江高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$は皆整数にして何れも或定まれる素数$p$にて整除せられ，而して$c$は$p^2$にては整除せられざるものとす．然らば整式$x^3+a{x}^2+bx+c$は整数の係数を有する整式の因数に分解すること不可能なり．之を証明せよ．

【２】　何れも$0$ならざる三数$a\text{，}b\text{，}c$の間に$a^3+b^3+c^3-3abc=0$なる関係あるときは，$x$に付ての次の三つの方程式に共通根あることを証明せよ．

$a{x}^2+bx+c=0$

$b{x}^2+cx+a=0$

$c{x}^2+ax+b=0$

【３】　何れも正項よりなる等差級数と等比級数とに於て両者とも第一項は$a\text{，}$第二項は$b$なるとき，等差級数の各項はそれに対応せる等比数列の項より大ならざることを証明せよ．

【４】　甲乙両人$\mathrm{A}$地を発して$\mathrm{B}$地に向ひ，$\mathrm{B}$地に到着するや直に引返すものとす．今甲は乙より$1$時間遅れて出発せしも$\mathrm{B}$地より$4.5$粁の所にて乙に追ひ付き，其後$1$時間を経て甲，乙相会し，甲が$\mathrm{A}$地に帰着せるとき乙は尚$\mathrm{A}$地より$5.8$粁の所にありと云ふ．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$両地の距離如何．

【５】　三角形$\mathrm{ABC}$の内部に一点$\mathrm{O}$をとり

$\mathrm{\angle OAB}=\mathrm{\angle OBC}=\mathrm{\angle OCA}$

ならしめよ．

【６】　点$\mathrm{A}$が定円の直径$\mathrm{XY}$上にありて中心とは異る一定点なるとき，$\mathrm{A}$を通りて二つの弦$\mathrm{PAQ}\text{，}\mathrm{RAS}$をひき$\mathrm{\angle PAX}=\mathrm{\angle RAX}$ならしむれば，二つの直線$\mathrm{PS}\text{，}\mathrm{QR}$の交点は$\mathrm{\angle PAX}$の大さに関せざる一定点なることを証明せよ．