1936　山口高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$m\text{，}n$及び${\displaystyle \frac{mn}{m+n}}$が何れも正整数にして$m\text{，}n$の最大公約数を$D$とし，$m\text{，}n$を$D$にて割りて得る商を$a\text{，}b$とすれば$a+b$は$D$の約数なることを証せよ．

【２】　或る人反物を購入し，其の三分の一を原価の二割高に，五分の一を原価の一割損にて売りて現金を請取り，残りを原価の三割高に売り其の代価として小切手を請取り釣銭として$60$円を返せしに其の後，宛名の銀行が破産せしにより小切手面の金額全部を損せし為め，結局総体にて$2580$円の損となれり．購入せし反物の原価は何程なりしか．

【３】　三角形の三辺及び其の面積が四つの連続せる正整数なりと云ふ．各辺を求む．

【４】　$2\times 2^2\times 2^4\times 2^8\times \cdots$が始めて十億を越ゆるには幾つの因数を取るべきか．但し$\log 2=0.3010$とす．

【５】　三角形$\mathrm{ABC}$に於て辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さを夫々$a\text{，}b\text{，}c$とし$\mathrm{\angle B}-\mathrm{\angle C}=90\mathrm{°}$なるときは${\displaystyle \frac{2}{a^2}}={\displaystyle \frac{1}{{(b+c)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{(b-c)}^2}}$なる関係あることを証せよ．

【６】　線分$\mathrm{AB}$上の一点を$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{AB}$を直径とする半円周上の二点を$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とし$\mathrm{\angle ACX}=\alpha \text{，}\mathrm{\angle BDX}=\beta$とすれば$\tan \alpha \text{，}\tan \beta$の積は${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}}{\mathrm{BD}\cdot \mathrm{AC}}}$に等しきことを証せよ．