3936　松山高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$x=cy+bz\text{，}y=az+cx\text{，}z=bx+ay$なるとき

${\displaystyle \frac{x^2}{1-a^2}}={\displaystyle \frac{y^2}{1-b^2}}={\displaystyle \frac{z^2}{1-c^2}}$

なることを証せよ．但し$a\text{，}b\text{，}c$は何れも$\pm 1$に等しからずとす．

【２】　某地より自動車にて停車場に行くに，毎時$20$粁の速さならば発車後$12$分に達すべく，又$24$粁の速さならば発車と同時に達すべしといふ．今$10$分前に到着せんとするには毎時幾粁の速さとすべきか．

【３】　半径$R$なる円に内切し且つ互いに外切する三つの等円の半径如何．又之等三等円の間に夾まれたる部分の面積を求めよ．

【４】　$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3\text{，}\cdots \text{，}{S}_p$が夫々初項$1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}p$にして，公差$1\text{，}3\text{，}5\text{，}\cdots \text{，}2p-1$なる等差級数の$n$項の和を表はすとき，$S_1+S_2+S_3+\cdots +S_p$の値を求めよ．

【５】　次の式を計算せよ．

${2.7}^3\times {0.81}^{\frac{4}{5}}÷{90}^{\frac{5}{4}}$

但し$\log 3=0.47712\text{，}\log 5.998=0.77801\text{，}\log 5.999=0.77808$

【６】　正方形$\mathrm{ABCD}$の対角線$\mathrm{AC}$と同じ向きに平行線$\mathrm{BE}$を引き，$\mathrm{AE}=\mathrm{AC}$ならしむるときは，$\mathrm{\angle BAE}$は$15\mathrm{°}$に等し．

【７】　三角形$\mathrm{ABC}$の内切円を画きその中心を$\mathrm{O}\text{，}$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$との切点を夫々${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とし，又$\mathrm{AO}$及びその延長の円周との交点を$\mathrm{P}\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }$とすれば，$\mathrm{P}\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }$は夫々三角形${\mathrm{AB}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の内心及び傍心なり．

【８】　互いに内切する二つの円の切点を過りて直線を引き，二つの円周の間に夾まれたる部分を与へられたる長さに等しからしめよ．