1936　佐賀高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　次の三つの方程式が$x\text{，}y$の同じ値に対して成立するためには，$l\text{，}m\text{，}n$の間に如何なる関係あるを要するか．

$x+y=l\text{，}x-y=m\text{，}2(x^2+y^2)=n^2$．

【２】　或都市に於ける一ケ年間に生まるる人数は，其の年の初めの人口の${\displaystyle \frac{1}{30}}$にして，残亡する人数は，同じく${\displaystyle \frac{1}{48}}$なりといふ．此の割合を持続するものとすれば，幾年後に此都市の人口は現在の$2$倍となるか．但し$\log 2=0.301\text{，}\log 3=0.477$．

【３】　甲乙丙三人射的をなしたるに，甲は$9$発中$5$発，乙は$3$発中$2$発，丙は$5$発中$4$発の割合にて的中し，其の的中せざりし数は丙は乙の${\displaystyle \frac{3}{7}}\text{，}$乙は甲の${\displaystyle \frac{7}{8}}$に等しく，的中数の合計は$36$発なりしといふ．各自の発射数如何．

【４】　半径$a\text{，}b$中心間の距離$c$なる二つの円の共通切線の長さを計算せよ．又$c>a+b$なるとき，共通外切線と共通内切線との長さの差を$2l$とすれば，

$l^4+(a^2+b^2-c^2)l^2+a^2{b}^2=0$

なる関係あることを証明せよ．

【５】　四辺形をなす紙片の四隅を折り返して，四つの頂点を形内の一点に会せしめ，以って此の紙片を全部二重になるやうにせんとす．原型は如何なる四辺形なるを要するか．

【１】　$m\text{，}n$は正の整数にして，$n(n+1)\text{，}n(m-n)\text{，}(m-n)(m-n+1)$の逆数が等差級数をなすとき，$8n+9$は完全平方数なることを証明せよ．

【２】　或種の黴菌$x$個が，一時間後に$a+bx$個に繁殖するものとすれば，此の黴菌$x$個は，$n$時間後には幾何に繁殖するか．但し$a\text{，}b$は定数にして，$n$は正の整数とす．

【３】　係数が実数なる二次方程式の二根の比の値を$k$とするとき，${\displaystyle \frac{k-1}{k+1}}$が実数なるか，虚数なるかに従つて，其の二根も亦実数なるか，虚数なることを証明せよ．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$の$\mathrm{\angle A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交る点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{C}$を過る円が辺$\mathrm{AB}$又は其の延長と再び交る点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{B}$を過る円が辺$\mathrm{AC}$又は其延長と再び交る点を$\mathrm{R}$とすれば，$\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}={\displaystyle \frac{{\mathrm{BC}}^2}{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}}$なることを証明せよ．

【５】　長さ$a$なる線分$\mathrm{AB}$を任意の一点$\mathrm{C}$にて内分し，正三角形$\mathrm{ACD}\text{，}\mathrm{BCE}$を作り，これ等両三角形の重心間の距離を$d$とすれば，$d$の値は如何なる範囲内に変化するか．両三角形が線分$\mathrm{AB}$の同じ側にあるときと，反対側にあるときとを別々に吟味せよ．