1936　東京高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　甲乙丙三つの整式あり．甲は$2x-1$なる一次式，乙は二次式，丙は$2x^3+x^2-13x+6$なる三次式なり．又これらの三式の最小公倍数は$6x^4+5x^3-38x^2+5x+6$なるとき乙式を求めよ．

【２】　$x$についての二次方程式$2x^2-2px+p^2-1=0$が$\sin A$なる一根を有するときは，他の根は$\cos A$又は$-\cos A$なることを証明せよ．

【３】　${\displaystyle \frac{y^2+z^2-x^2}{ayz}}={\displaystyle \frac{z^2+x^2-y^2}{bzx}}={\displaystyle \frac{x^2+y^2-z^2}{cxy}}=1$なるとき$a\text{，}b\text{，}c$の間に如何なる関係が成立するか．

【４】　等差級数の初項より$n$項の和を$S_1\text{，}$初項より$2n$項の和を$S_2\text{，}$初項より$3n$項の和を$S_3$とすれば，$n$の値の如何にかかはらず${S_2}^2>S_1{S}_3$なることを証明せよ．但し初項及び公差は零ならざる実数とす．

【５】　$2^a{5}^b=2^c{5}^d=10$なるときは$(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)$なることを証明せよ．

【６】　円の定弦$\mathrm{BC}$の一方の弧上に定点$\mathrm{A}$あり．其の共軛弧上に二点$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$を求め，$\mathrm{AX}\text{，}\mathrm{AY}$が弦$\mathrm{BC}$と交はる点を夫々$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とするとき，線分$\mathrm{XY}\text{，}\mathrm{MN}$の長さを夫々与へられたる長さ$p\text{，}q$に等しからしめよ．

【７】　面積$100$平方糎なる三角形あり．この三角形の内部の一点をとほりて各辺に平行線を引けば，もとの三角形は三つの三角形及び三つの平行四辺形に分たる．其の三つの三角形の中二つの面積が$7$平方糎，$11$平方糎ならば残りの三角形の面積は何程か．平方糎の小数第二位まで求めよ．