1936　私立成城高等学校入学選抜試験MathJax

【１】

$2ax+a(a-1)y=2b$

$2bx+b(b-1)y=2a$

なるとき$2x+(a+b-1)y$の値を求めよ．但$a\text{，}b$は何れも零ならず．且つ$a\ne b$とす．

【２】　二つの相似三角形あり．一方の各頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に対応する他方の頂点を夫々${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とす．各三角形の内部に夫々一点$\mathrm{P}\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }$ありて${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{P}}^{\prime }}}$及${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{P}}^{\prime }}}$が何れも相似の比に等しきときは${\displaystyle \frac{\mathrm{CP}}{{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{P}}^{\prime }}}$も亦相似の比に等しきことを証明せよ．

【３】　直角三角形の三辺を各々同じ長さだけ増して再び直角三角形を作り得るか．

【１】　次の二つの関係式を満足する$x$の値を求む．

$x^2-7x+11=\sqrt{x^2-8x+16}$

$10x^2-31x+24<0$

【２】　$x$についての二次方程式

${\left\{\right(a^2+{\displaystyle \frac{1}{a^2}})x-(a^2-3)\}}^2=4\{x^2+(a^2-3)x-2(a^2-1)\}$

が等根を有する様に$a$の値を求め且つ其等根を求めよ．但$a$は零ならざる実数とす．

【３】　中心$\mathrm{O}$なる大小二円の同心円あり．今大円の外部にある一点$\mathrm{A}$より大円に引ける一つの切線の切点を$\mathrm{P}\text{，}$小円に引ける二つの切線の切点を$\mathrm{Q}\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }$とすれば，直線$\mathrm{PQ}\text{，}{\mathrm{PQ}}^{\prime }$は$\mathrm{O}$を中心とする或る同一の円に切することを証明せよ．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{AB}$上の一点$\mathrm{D}$を過り底辺$\mathrm{BC}$に平行線を引き辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{E}$とす．二直線$\mathrm{DE}\text{，}\mathrm{BC}$間の距離$4$糎，$\mathrm{DE}=2$糎にして$\mathrm{▵ABC}$の面積$25$平方糎なりと云ふ．此三角形の底辺の長さ及高さ各々幾何なるか．