1936　府立高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$が${\displaystyle \frac{1+x}{1+\sqrt{1+x}}}+{\displaystyle \frac{1-x}{1-\sqrt{1-x}}}=2k(1-x)$の根であるやうに$k$の値を決定せよ．

【２】　$x+y+z=0\text{，}{\displaystyle \frac{x^2}{b-c}}+{\displaystyle \frac{y^2}{c-a}}+{\displaystyle \frac{z^2}{a-b}}=0$のとき次式を簡単にせよ．

${\displaystyle \frac{a^{2}x+b^{2}y+c^{2}z}{bcx+cay+abz}}$

【３】　${(0.064)}^x$が小数点以下有効数字までの間に$5$ケの$0$を有するやうに$x$の整数値を決定せよ．（$\log 2=0.30103$を使用せよ）

【４】　$(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0$は実根を有することを証明し，次にその二根の比を$a\text{，}b\text{，}c$で表はせ．（$a\text{，}b\text{，}c$は勿論実数である）

【５】　中心$\mathrm{O}$半径$R$なる定円内の定点$\mathrm{P}$を過ぎる二弦$\mathrm{APB}\text{，}\mathrm{CPD}$を引く．この二弦が$\mathrm{PO}$となす鋭角を$x\text{，}y$とするとき

${\overline{\mathrm{PA}}}^2+{\overline{\mathrm{PB}}}^2+{\overline{\mathrm{PC}}}^2+{\overline{\mathrm{PD}}}^2=4R^2+4{\overline{\mathrm{OP}}}^2({\cos }^{2}y-{\sin }^{2}x)$

なることを証明せよ．

【１】　$({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}})(a+b+c)=1$のとき

$({\displaystyle \frac{1}{a^3}}+{\displaystyle \frac{1}{b^3}}+{\displaystyle \frac{1}{c^3}})(a^3+b^3+c^3)=1$

なることを証明せよ．

【２】　連立方程式$x^2+y^2=8\text{，}{(x-1)}^2+{(y-1)}^2=k$の根を実数にするには$k$をどんな範囲にとればよいか．

【３】　定円$O$の定弦を$\mathrm{AB}\text{，}$周上の定点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$より弦$\mathrm{PQR}$を引き，$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$として，$\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{QR}$が最大である様にせよ．