1952　北海道大学MathJax

【１】　食パンとハムと鶏卵で熱量$810\mathrm{cal}\text{，}$蛋白質$36\mathrm{g}$の食事をとるのには$50\mathrm{g}$の鶏卵$1$個の他に食パンとハムをそれぞれ何$\mathrm{g}$ずつとればよいか$\text{（}\mathrm{g}$未満を切上げよ）．ただし$100\mathrm{g}$当りの熱量と蛋白質の量は食パンでは$250\mathrm{cal}\text{，}$$7\mathrm{g}\text{：}$ハムでは$210\mathrm{cal}\text{，}$$24\mathrm{g}\text{：}$鶏卵では$160\mathrm{cal}\text{，}$$12\mathrm{g}$とする．

【２】　勾配$1/3$の面を最大傾斜線（勾配$1/3$の直線）より$30\mathrm{°}$だけ斜めに$20\mathrm{m}$登れば，出発点よりどれだけの高さの地点に達するか．又この斜面上に勾配$1/6$の直線路をつくるには最大傾斜線より何度斜めにすればよいか．ただしここで勾配とは傾斜角の正弦を指すものとする．

【１】　$-8<x\leqq 8$なる範囲で函数$y={\log }_2(x+8)$が負でない整数値をとるような$x$の値を求めよ．次に同じ$x$の範囲でこの函数のグラフを描け．又不等式$0\leqq {\log }_2(x+8)\leqq \left|{\displaystyle \frac{x}{2}}\right|$を満足する$x$の範囲を求めよ．

【２】　二つの実数$x\text{，}$$y$の間に

$x^{2}y+2axy-x+by=0$$\text{（ただし}a\text{，}$$b\text{は実数，}$$a^2<b\text{とする）}\cdots \text{(A)}$

なる関係があるとする．次の文の空欄を適当に埋め，かつ(イ)，(ニ)，(ホ)についてはその理由を書け．

(1)　$x$を定数と考えて$y$に関して整頓すると$y$の係数は$x$の如何に拘らず$\text{イ}$故，任意の実数$x$に対して

$y=\text{ロ}$$\cdots \text{(B)}$

である．

(2)　次に$y$を定数と考えて$x$に関して整頓すると(A)は$x$の二次方程式であつてその判別式は$\text{ハ}$である．故に$\text{ニ}$なる範囲の$y$に限り(A)は実根を有する．

(3)　(B)の最大値及び最小値はそれぞれ$\text{ホ}$である．

【１】　下の三組の座標軸(イ)，(ロ)，(ハ)に関して，それぞれの条件を満足する三つの放物線(1)，(2)，(3)を点線を用いて描き，然る後下の問に答えよ．

(1)　$y$軸上の点$\mathrm{A}$を頂点，$y$軸を軸とし，上に凹，

(2)　原点$\mathrm{O}$を頂点，$y$輌を軸とし，下に凹，

(3)　$y$軸上の点$\mathrm{B}$を頂点，$y$軸を軸とし，上に凹．

　これらの放物線がそれぞれ或る三つの函数の導函数のグラフを表わすものとして，もとの三つの函数のグラフを実線によって描け．ただしもとの三つの函数のグラフは何れも放物線の頂点を通るものとする．

【２】(1)　次の文の空欄に適合する数，記号及び語句を下の解答欄（省略）に入れよ．

　函数$y=x^{\frac{2}{3}}$の導函数は$y^{\prime }={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{-\frac{1}{3}}$であるから$x$が負ならば$y^{\prime }$は$\text{イ}\text{，}$$x$が正ならば$y^{\prime }$は$\text{ロ}$である．従って$y$は$x$の$\text{ハ}$なる範囲で減少函数であり，$x$の$\text{ニ}$なる範囲では$\text{ホ}$であって，原点では$y$の値は$\text{ヘ}$であるから$y$の極小値は$\text{ト}$である．又$x$が負で$x\to 0$のとき$y^{\prime }\to \text{チ}$であり，$x$が正で$x\to 0$のとき$y^{\prime }\to \text{リ}$であるから曲線は原点で$\text{ヌ}\text{．}$

(2)　曲線$y=x^{\frac{2}{3}}$と直線$y=2$とで囲まれた図形が$y$軸を軸として回転して出来る立体の体積を求めよ．

【１】　平面上で，位置と長さが与えられた線分$\mathrm{BC}$と一点$\mathrm{A}$とで作る三角形$\mathrm{ABC}$に於て常に$\sin B+\sin C=2\sin A$なる関係があるものとする．

(1)　三角形の角の間の関係

$\sin B+\sin C=2\sin A$

を辺の間の関係に直せ．

(2)　点$\mathrm{A}$は如何なる図形上にあるか．又その理由を述べよ．

【２】　適当な形の四辺形の紙片は，四つの隅を互に重ならないように紙上に折り曲げ，頂点を紙上の一点に集めてすき間の残らないようにすることが出来る．この時次の問に答えよ．

(1)　こうして出来上つたものは如何なる形をなすか．（証明不要）

(2)　上の形から考えてこの折り曲げ方が可能な紙片は如何なる形の四辺形でなければならないか，証明を附して答えよ．