1952　東京大学MathJax

【１】　正三角形の板を図のように四つの合同な正三角形に分け，それを赤，黄，青，白の$4$色を用いて塗り分ける．

(ⅰ)　$4$色全部を用いるとき幾通りの塗り方があるか．

(ⅱ)　$4$色のうち任意の$3$色を用いて隣り合う三角形は違う色になるようにするには幾通りの方法があるか．

(ⅱ)　$2$色を用いるとすれば幾通りの方法があるか．

【２】　何人かがある距離を自動車で行くとき，大型ならば$2$台，小型ならば$3$台いる．大型の料金は$1$台につき最初の$1\mathrm{km}$までが$100$円，その後$200\mathrm{m}$ごとに$20$円を加える．小型の料金は$1$台につき最初の$1\mathrm{km}$まで$70$円，その後$480\mathrm{m}$ごとに$20$円を加える．どのような距離を行くとき小型を使う方が有利になるか．

【３】　北緯$30\mathrm{°}$の地点で長さ$4\mathrm{m}$の棒を先端を北極星に向けて地上に立てておく．太陽の方位が南より$30\mathrm{°}$東，高度が$45\mathrm{°}$であるとき，この棒の影の長さは何程か．

【１】　次の函数のグラフを画け．

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+3x+3}{x+1}}$

【２】　二次方程式

$a{x}^2+(1-5a)x+6a=0\text{，}$$a\ne 0$

の根が二つとも$1$より大きい実根となるのは実数がどんな範囲にあるときか．

【３】　${\displaystyle \frac{\log a+\log b+\log c+\log d}{4}}$と$\log {\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4}}$の大小を比較せよ．但し対数は常用対数とし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は正数とする．

【１】

$a_1=0\text{，}$$a_2=1\text{，}$$a_{n+2}={\displaystyle \frac{a_{n+1}+a_n}{2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

であるとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$

を求めよ．

【２】　直角座標に関して座標$(1,1)$の点が原点の周りを正の向きに$30\mathrm{°}$回転すればその点の座標はどのようになるか．

【３】　$f(x)=x^3+x^2+x+1$であるとき，$g(x)=a{x}^2+2bx+c$の係数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$をどのように定めれば

$f(1)=g(1)\text{，}$$f(-1)=g(-1)$

である上に${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{f(x)-g(x)\}}^2\mathit{dx}$が最小となるか．

【１】(ⅰ)　$\mathrm{\angle AOB}$を平面上の角，$\mathrm{P}$をその平面上の任意の点とする．直線$\mathrm{OA}$に関する$\mathrm{P}$の対称点を${\mathrm{P}}^{\prime }$とし，直線$\mathrm{OB}$に関する${\mathrm{P}}^{\prime }$の対称点を${\mathrm{P}}^{″}$とすれば，${\mathrm{P}}^{″}$は$\mathrm{P}$を$\mathrm{O}$の周りに$2\mathrm{\angle AOB}$回転した点と一致することを証明せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵ABC}$の平面上の任意の点を$\mathrm{P}$とする．その平面上で$\mathrm{P}$を図のように$\mathrm{B}$の周りに$2\mathrm{\angle CBA}$回転し，次に$\mathrm{A}$の周りに$2\mathrm{\angle BAC}$回転し，さらに$\mathrm{C}$の周りに$2\mathrm{\angle ACB}$回転すれば最後の位置はどこになるか．

【２】　半径$R$の定円の周上を，その内側にある半径${\displaystyle \frac{R}{2}}$の円がすべらずに転るとき，小円の周上の一点の軌跡を求めよ．

【３】　稜の長さが$1$である立方体に図のように内接する四面体$\mathrm{ACFH}$の体積を求む．