1952　京都大学　全学部MathJax

【１】　ある定数について

$e=1+1+{\displaystyle \frac{1}{2!}}+{\displaystyle \frac{1}{3!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{10!}}+{\displaystyle \frac{A}{11!}}\text{，}$$1<A<3$

であることが知られている．ここに$n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n$である．この式によつて，$e$の値は小数点以下何桁まで正しく求められるかを考え，その桁までの数値を求めよ．

【２】　一辺の長さが$a$の正方形$\mathrm{ABCD}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を中心として$a$を半径とする円を$3$つ書く．円$A\text{，}$$B\text{，}$$C$の内部をそれぞれ赤，青，黄に塗ると，紫，緑，橙（だいだい）となる部分の面積の和はいかほどであるか．

【１】　$x$についての$2$次方程式$(a-x)(b-x)-c^2=0$に於て，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数であるとする．$c$が定数$\text{（}\ne 0\text{）}$であると，この方程式が少なくとも$1$つの正根をもつためには，$(a,b)$を座標とする点は，どのような範囲になければならぬか．それを図で示せ．

【２】　長さが$a\mathrm{cm}$のまっすぐな針金$\mathrm{AB}$を，$\mathrm{A}$から$x\mathrm{cm}$の点$\mathrm{C}$で直角におりまげる．次に$\mathrm{CB}$上の適当な点$\mathrm{D}$で再びおりまげて$\mathrm{B}$と$\mathrm{A}$とを重ねる．このようにしてできた直角三角形の$\mathrm{D}$における内角が$45\mathrm{°}$よりも大きくなるためには，$x$はどのような範囲にあるべきか．

【１】　一つの直線上を$2$つの点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が同じ方向に動いている．時刻が$t$のときに点$\mathrm{A}$はこの直線上の定点から$(t^5+8t)\mathrm{cm}$のところにあり，点$\mathrm{B}$は$(4t^3+17)\mathrm{cm}$のところにある．この$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は時刻が$t=2$から$0.0035$経つ間に，その間隔は，およそ，どれほど増減するか．

【２】　底面の直径が$2a\mathrm{cm}\text{，}$高さが$h\mathrm{cm}$の直円錐に内接する直円柱の体積は，その高さの変化に応じて，どのように変化するか，その模様を図で示せ．

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$が与えられている．この三角形のどの辺にも平行でない直線を$l$とする．頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通つて$l$に平行な直線を引き，これが$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$又はそれの延長と交わる点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とすれば，三角形$\mathrm{DEF}$の面積が一定であることを証明せよ．

【２】　点$\mathrm{C}$を中心とする円$K$の外部に点$\mathrm{P}$を取り$\mathrm{CP}$を直径とする円を書く．これと$K$との共通弦が$\mathrm{CP}$と交わる点を$\mathrm{R}$とする．$K$の直径で$\mathrm{CP}$と直交するものを$\mathrm{NS}$とし，$\mathrm{NP}$と$K$との交点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$が同一直線上にあることを示せ．