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1959-10541-0101
1959 京都大学 全学部
数学Ⅰ代数
配点35点
易□ 並□ 難□
【1】 x の常用対数の指標は m であり,その仮数と x の常用対数の仮数との和は 1 である. x の常用対数の仮数, x の常用対数の指標および仮数を求めよ.
1959-10541-0102
配点(1)20点,(2)15点
【2】 t の値が 1 から増加していくとき, x と y が次の 2 つの関係を保ってその値を変えていく.
x= t+1 -t-1 t+ 1+t -1 , y=1- (t- 1)⁢ x
このとき
(1) y は x の二次式で表わされることを示せ.
(2) x , y の間の関係を表わすグラフをえがけ.
1959-10541-0103
数学Ⅰ幾何
配点(1)10点,(2)15点,(3)10点
【1】 1 辺の長さ a の正三角形 ABC の辺 BC 上に点 P をとり,三角形 ABP および三角形 ACP の内心をそれぞれ O , O′ とする.角 APB =θ⁢ ° として
(1) 角 AOB および角 AOP を求めよ.
(2) AO および AO ′ の長さを求めよ.
(3) 辺 BC 上で点 P を動かすとき,比 AO :A O′ の値の範囲を示せ.
1959-10541-0104
【2】 三角形 ABC において,垂心 H と辺 BC の中点 D とを結ぶ直線が,外接円と交わる 2 点のうちの 1 つを E とするとき, AE は外接円の直径であることを証明せよ.
1959-10541-0105
数学Ⅱ
配点(1)10点,(2)25点
【1】(1) y に実数値を与えて,方程式 x + 1x= y が実数 x によって満たされるようにしたい.そのような y の値の範囲を求めよ.
(2) 四次方程式 x 4+p⁢ x3+ 8⁢x 2+p ⁢x+1 =0 が 4 つの実根をもつようにするために,係数 p に与えるべき実数値の範囲を求めよ.
1959-10541-0106
【2】 正三角形の紙がある. 3 つの頂点を A , B , C とし,辺 AB 上の 1 点 D と辺 AC 上の 1 点 E とを結ぶ線分に沿ってこの紙を折り曲げ,頂点 A が辺 BC の上に落ちるようにする. BD を最も大きくするには, AD と AB の比の値をどのように定めればよいか.
1959-10541-0107
数学Ⅲ
【1】 関数
f ⁡(x )= x2+ a⁢x+ bp⁢ x2+ q⁢x+r
が次の諸条件を満たすように定数 a , b , p , q , r の値を定めよ.
(A) f⁡( 1)= 0 , (B) f′ ⁡(0 )= 5 8 , (C) limx →∞ f⁡(x )= 12 ,
(D) limx →−1 | f⁡( x)| =∞ , (E) limx →2 |f ⁡(x )| =∞
1959-10541-0108
【2】 放物線 y 2=a⁢ x と直線 y =x-2 ⁢a とで囲まれた有限部分を,直線 y =2⁢a -x によって 2 つの部分に分けるとき,これら 2 部分の面積の比を計算せよ.ただし, a>0 とする.