1961　東京大学　2次試験MathJax

【１】　点$\mathrm{O}$で$60\mathrm{°}$の角をなす半直線$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}$と$\angle \mathrm{XOY}$の二等分線$\mathrm{OZ}$があり，$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}$上に$\mathrm{O}$から$1\mathrm{cm}$の距離にそれぞれ点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．いま動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$がそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{O}\text{，}\mathrm{B}$から同時に出発して半直線$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OZ}\text{，}\mathrm{OY}$上をそれぞれ毎秒$1\mathrm{cm}\text{，}\sqrt{3}\mathrm{cm}\text{，}2\mathrm{cm}$の速さで$\mathrm{O}$から遠ざかる．

(ⅰ)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が一直線上にくるまでの時間

および

(ⅱ)　$▵\mathrm{PQR}$の面積が$▵\mathrm{AOB}$の面積に等しくなるまでの時間

を求めよ．

【２】　$x$の$4$次式$f(x)$において

• $f(-0.2)=2.226$
• $f(-0.1)=2.460$
• $f(0)=2.718$
• $f(0.1)=3.004$
• $f(0.2)=3.320$

であるとき，$f^{\prime }(0)$を求めよ．

【３】　与えられた半径$a$の半球に外接する直円錐をつくり，その全表面積（側面積と底面積の和）を最も小さくするには，その高さを何程にすればよいか．ただし直円錐の底面は半球の底面と同じ平面上にあるものとする．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の上にそれぞれ点$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$をとり，

${\displaystyle \frac{\mathrm{BL}}{\mathrm{LC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{MA}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{NB}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

にする．$\mathrm{AL}$と$\mathrm{CN}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{AL}$と$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{BM}$と$\mathrm{CN}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$▵\mathrm{PQR}$の面積と$▵\mathrm{ABC}$の面積との比を求めよ．

【５】　曲線$y=\sqrt{1+x^2}$の上に$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{Q}$があり，その$x$座標がそれぞれ$a-h\text{，}a\text{，}a+h\text{（}h>0\text{）}$であるとする．いま$\mathrm{A}$を通り，$x$軸に垂直な直線が線分$\mathrm{PQ}$と交わる点を$\mathrm{B}$とし，線分$\mathrm{AB}$の長さを$l$とするとき，

$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{l}{h^2}}$

を$a$を用いて表せ．

【５】　$t$がすべての実数の範囲を動くとき

• $x=t^2+1$
• $y=t^2+t-2$

を座標とする点$(x,y)$は一つの曲線をえがく．この曲線と$x$軸とによって囲まれる部分の面積を求めよ．

【６】　$a\text{，}b\text{，}c$は定数であって，函数

$f(x)=a\sin x+b\cos x+c\sin 2x$

は$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$において極大値$6\sqrt{2}$をとり，また

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(x)\cos xdx=5\pi$

である．このとき

(ⅰ)　$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

(ⅱ)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で$f(x)$を最小にする$x$の値とそのときの$f(x)$の値とを求めよ．