1961　京都大学　文科系・理科系MathJax

【１】　次の問(1)，(2)，(3)に答えよ．

(1)　実数で定義された多くの函数がある．命題「少なくとも$1$つの実数値で，どの函数も$0$の値をとる」の否定命題を作りたい．下に挙げたことばの中から適当なことばを選んで，次の否定命題の$\boxed{}$(イ)，(ロ)，(ハ)の中に記入せよ．

「(イ)$\boxed{}$実数に対し，そこで(ロ)$\boxed{}$の函数は$0$で(ハ)$\boxed{}$．」

(イ)　少なくとも$1$つの，多くの，すべての，いろいちな，

(ロ)　多くとも$1$つ，少なくとも$1$つ，ただ$1$つ，すべて，

(ハ)　ある，ない．

【１】　次の問(1)，(2)，(3)に答えよ．

(2)　$1$平面上で$2$つの三角形が$\mathrm{▵ABC}\equiv \mathrm{▵}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$のように与えられている．$\mathrm{▵ABC}$は，平行移動，回転移動，線対称移動のそれぞれを多くとも$1$回使えば，$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の位置に移し得る．これを簡明に示せ．

【１】　次の問(1)，(2)，(3)に答えよ．

(3)　$f(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$を実係数の多項式とする．$y=f(x)$のグラフを$x$軸に平行に$h$$\text{（}h\ne 0\text{）}$だけ平行移動するとき，移動した曲線は前の$y=f(x)$の曲線と全体として完全には一致しないことを証明せよ．

【２】　定線分$\mathrm{AD}$を頂角$\mathrm{A}$の二等分線とする任意の三角形$\mathrm{ABC}$をつくる．ただし辺$\mathrm{BC}$は点$\mathrm{D}$を通り，二辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$は等しくないようにとる．この三角形の外接円の，$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とすれば，点$\mathrm{P}$は定直線の上にあることを証明せよ．

【３】　同一平面上で，二点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線の一方の側に二点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$があって，ともに$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$から$a$の距離にあり，$\mathrm{PM}$は$\mathrm{AB}$に垂直であるとする．

　$\mathrm{\angle APB}=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle AQB}=\beta \text{，}$$\mathrm{\angle PMQ}=\theta \text{，}$$\mathrm{AM}=r$とおき，$\alpha$は直角でないとする．

(1)　$\tan \alpha$を$r$と$a$で表わせ．

(2)　$\tan \alpha \cos \theta =\tan \beta$を示せ．

【４】　$\mathrm{A}$が毎時$a\mathrm{km}$の一定の速さで，ある地点を出発し，$l\mathrm{km}$を進んだ後，$\mathrm{B}$が同一地点を出発し同一の路を経て一定の速さで$\mathrm{A}$を追う．$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$に追いつくまでの疲労を最小にするにはどんな速さで進めばよいか．ただし，疲労は速さの$2$乗と時間とに比例するものとする．

【５】　連立方程式

$x+y=a\text{，}$$x^2+y^2=b^2$

の根$x\text{，}$$y$がいずれも$-1$と$1$との間（$-1$と$1$を含む）にあるためには，$(a,b)$を座標とする点はどのような範囲にあるか，図示せよ．

【６】　直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の直角頂$\mathrm{A}$を通って$\mathrm{BC}$に平行線を引き，その上に一点$\mathrm{D}$をとり，$\mathrm{BD}=\mathrm{BC}$となるようにする．

(1)　$\mathrm{\angle ABD}$は何度か．

(2)　$\mathrm{BD}\text{，}$$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{BC}$に関する$\mathrm{D}$の対称点を$\mathrm{F}$とすれば，$\mathrm{EF}$は$\mathrm{DC}$に平行であることを証明せよ．

【５】　$n$が整数であるとき

$S=|n-1|+|n-2|+\cdots +|n-100|$

の最小値を求めよ．またそのときの$n$の値を求めよ．

【６】　点$\mathrm{A}$が速度$u=t^2+5\mathrm{cm}/\text{秒}$で一直線上を動いている．この直線上を，$\mathrm{A}$が出発すると同時に点$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$の前方$2\mathrm{cm}$の距離の点から出発し，速度$v=5t\mathrm{cm}/\text{秒}$で動くとする．ここに，$t$秒は$\mathrm{A}$が出発してからの時間である．$0\leqq t\leqq 4$の範囲で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は何回重なるか．