1964　京都大学　文科系・理科系MathJax

【１】(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$が正の数であるとき，

${\displaystyle \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}}\geqq \sqrt[4]{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　$4$つの正の数$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$がある．これらの順序を任意にかえたものを，$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3\text{，}$$b_4$とするとき，${\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}+{\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}+{\displaystyle \frac{a_3}{b_3}}+{\displaystyle \frac{a_4}{b_4}}\geqq 4$が成り立つことを証明せよ．

【２】　次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)の条件を同時に満たす，$3$つのたがいに異なる$x$の三次式の組を，すべて求めよ．

(ⅰ)　$x^3$の係数はいずれも$1$である．

(ⅱ)　それらの最大公約数は$x+3$である．

(ⅲ)　それらの最小公倍数は

$x^5+x^4-41x^3-33x^2+180x-108$

である．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$がある．辺$\mathrm{BC}$の$3$等分点を$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}$とする（$\mathrm{BL}=\mathrm{LM}=\mathrm{MC}$）．辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{BP}$が$\mathrm{AL}\text{，}$$\mathrm{AM}$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．

(1)　$3$線分$\mathrm{BQ}\text{，}$$\mathrm{QR}\text{，}$$\mathrm{RP}$の間の大小関係を調べよ．

(2)　$3$線分$\mathrm{BQ}\text{，}$$\mathrm{QR}\text{，}$$\mathrm{RP}$と同じ長さの$3$辺をもつ三角形が存在するような，点$\mathrm{P}$の範囲を求めよ．

【４】　放物線$y=x^2$に，点$\mathrm{P}$から$2$つの接線を引き，それらの交角が$60\mathrm{°}$であるように点$\mathrm{P}$が動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【５】　$a\text{，}$$b$は$1$でない正の数とする．$x$の二次方程式

$x^2-{({\log }_{a}b)}^{2}x+{\log }_a\left({\displaystyle \frac{1}{b^2}}\right)=0$

がある．

(1)　この方程式が${\log }_b\left({\displaystyle \frac{1}{a}}\right)$より大きい$2$根（重根でもよい）をもつような点$(a,b)$の範囲を求め，それを図示せよ．

(2)　また，上の二次方程式の$2$根を$\alpha \text{，}$$\beta$として，$(a,b)$が(1)の条件の範囲を動くとき，

$12\alpha +12\beta -{\alpha }^2\beta -\alpha {\beta }^2$

のとりうる値の最大値を求めよ．

【６】　$x$の$2$つの関数$y_1=x^2\text{，}$$y_2=ax+b$がある．$0\leqq x\leqq 2$の範囲において，$|y_1-y_2|$の最大値を最小にするように，係数$a\text{，}$$b$の値を定めよ．

【５】　$a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$を数列とし，

$f_n(x)=\cos (x+{\displaystyle \frac{a_{n+1}+a_n}{2}})\sin {\displaystyle \frac{a_{n+1}-a_n}{2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．

(1)　すべての$x$の値について，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{f}_n(x)$が収束するためには，数列$a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$がどのような条件を満たすことが必要十分であるか．

(2)　(1)の条件が満たされているときについて，和

$F(x)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{f}_n(x)$

を求め，${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}F(x)\mathit{dx}$と級数の和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}({\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{f}_n(x)\mathit{dx})$を比較せよ．

【６】　$y=\cos x$のグラフと$x$軸とで囲まれた図形を$S$とする．$S$に含まれ$x$軸上に$1$辺をもつ長方形および三角形と，$S$に含まれ，$x$軸上に直径をもつ半円との$3$種の図形について，それぞれの面積の最大値を$A\text{，}$$B\text{，}$$C$とする．$A\text{，}$$B\text{，}$$C$の大小関係を調べよ．