1981　東京大学MathJax

【１】　$A=\left(\begin{array}{cc}-1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -1\end{array}\right)$とし，正の整数$n$について$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$とおく．つぎに，$a$を実数とし，$xy$平面上の点$(x_n,y_n)$と点$(a,0)$との距離を$d_n$とする．このとき，$d_{n+1}>d_n$がすべての正の整数$n$に対して成り立つような，$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}$が$100$円硬貨を$4$枚，$\mathrm{B}$が$50$円硬貨を$3$枚投げ，硬貨の表の出た枚数の多い方を勝ちとし，同じ枚数のときは引き分けとする．硬貨の表，裏の出る確率はすべて${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるものとする．

(1)　$\mathrm{A}$の勝つ確率，$\mathrm{B}$の勝つ確率，引き分けの確率を求めよ．

(2)　もし，勝った方が相手の投げた硬貨を全部もらえるとしたら，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$とどちらが有利か．

【３】　$2$つの放物線

$y=2x^2+1\cdots \text{①}$，

$y=-x^2+c\cdots \text{②}$

の共通接線の方程式を求めよ．ただし$c$は定数で，$c<1$を満たすものとする．

　次に，共通接線と放物線$\text{①}$で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$共通接線と放物線$\text{②}$で囲まれた部分の面積を$S_2$としたとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の値を求めよ．

【４】　実数$\alpha (\text{ただし}0\leqq \alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と，空間の点$\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,-1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,0)$を与えて，次の$4$条件をみたす点$\mathrm{P}(x,y,z)$を考える．

(イ)　$z>0$

(ロ)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{A}$を通る直線と，$\mathrm{A}$を通り$z$軸と平行な直線のつくる角は${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

(ハ)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線と，$\mathrm{B}$を通り$z$軸と平行な直線のつくる角は${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

(ニ)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{C}$を通る直線と，$\mathrm{C}$を通り$z$軸と平行な直線のつくる角は$\alpha$

　このような点$\mathrm{P}$の個数を求めよ．また，$\mathrm{P}$が$1$個以上存在するとき，それぞれの場合について，$z$の値を，$\alpha$を用いて表せ．

【１】　$\mathrm{S}=\{1,2,\cdots ,n\}\text{，}$ただし$n\geqq 2\text{，}$とする．$2$つの要素から成る$\mathrm{S}$の部分集合を$k$個取り出し，そのうちのどの$2$つも交わりが空集合であるようにする方法は何通りあるか．

　次に，この数(つまり何通りあるかを表す数)を$f(n,k)$で表したとき，$f(n,k)=f(n,1)$をみたすような$n$と$k$（ただし，$k\geqq 2$）をすべて求めよ．

【２】　半径$1$の円に内接する正$6$角形の頂点を${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_6$とする．これらから，任意に(無作為に)選んだ$3$点を頂点とする$3$角形の面積の期待値(平均値)を求めよ．ただし，$2$つ以上が一致するような$3$点がえらばれたときは，三角形の面積は$0$と考える．

【３】　放物線$y=x^2$を$C$で表す．$C$上の点$\mathrm{Q}$を通り，$\mathrm{Q}$における$C$の接線に垂直な直線を，$\mathrm{Q}$における$C$の法線という．$0\leqq t\leqq 1$とし，つぎの$3$条件をみたす点$\mathrm{P}$を考える．

(イ)　$C$上の点$\mathrm{Q}(t,t^2)$における$C$の法線の上にある．

(ロ)　領域$y\geqq x^2$に含まれる．

(ハ)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離は$(t-t^2)\sqrt{1+4t^2}$である．

　$t$が$0$から$1$まで変化するとき，$\mathrm{P}$のえがく曲線を$C^{\prime }$とする．このとき，$C$と$C^{\prime }$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　$n\geqq 3$とし，正$n$角すいの表面を，底面に含まれない$n$個の辺で切り開いて得られる展開図を考える．正$n$角すいの頂点は，展開図においては，異なる$n$個の点になっている．ここでは，これら$n$個の点を通る円の半径が$1$であるような，正$n$角すいのみを考えることにする．

(1)　各$n$に対して，このような正$n$角錐の体積の最大値$v_n$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n$を求めよ．

注　図は，$n=5$の場合の，正$n$角すいとその展開図の例である．

【６】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数の定数として，関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$を考える．

(1)　関数$f(x)$が$3$条件

(イ)　$f(-1)=0$

(ロ)　$f(1)=0$

(ハ)　$|x|\leqq 1$のとき$f(x)\geqq 1-|x|$

を満たすのは，定数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$がどのような条件を満たすときか．

(2)　条件(イ)，(ロ)，(ハ)をみたす関数$f(x)$のうちで，積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{f^{\prime }(x)-x\}}^{2}dx$

の値を最小にするものを求めよ．