1981　京都大学　文系・理系MathJax

【１】　座標平面上に，原点と異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を考える．$\mathrm{A}$は$x$軸上にあり，$\mathrm{B}$は$y$軸上にあるものとする．$\mathrm{O}$を原点とするとき，$1$次変換$f$が

$f(\overrightarrow{\mathrm{OA}})=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$f(\overrightarrow{\mathrm{OB}})=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$f(\overrightarrow{\mathrm{OC}})=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$

をみたすものとする．このとき，次の(1)，(2)が成り立つことを示せ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|$なるとき，平面上の点$\mathrm{P}$で，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$f(\overrightarrow{\mathrm{OP}})$とが直交するならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸上にある．ただし，$\left|\right|$はベクトルの大きさを表わす．

【２】　$p$を有理数とし，次の関係をもつ$x_n\text{，}$$y_n$を座標にもつ平面上の点${\mathrm{P}}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$を考える．

$x_{n+1}=x_n+p(y_{n+1}+y_n)\text{，}$$y_{n+1}=y_n-p(x_{n+1}+x_n)$

　いま，$x_1\text{，}$$y_1$がともに有理数で，かつ${\mathrm{P}}_1$は原点でないとする．このとき，すべての$x_n\text{，}$$y_n$は有理数であり，点${\mathrm{P}}_n$は原点を中心とする定円上にあることを示せ．

【３】　$a$を正の定数とする．放物線$C_a\text{：}y=x^2-a^2$上の点$\mathrm{P}$から放物線$C\text{：}y=x^2$に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{QR}$と$C$とで囲まれた部分の面積は，$\mathrm{P}$の取り方に無関係であることを示せ．

【４】　$6$人が円陣をつくってすわり，次のゲームをする．

(1)　最初，交互に赤と白の帽子をかぶり，隣り合う$2$人ずつの$3$つの組を作る．各組でジャンケンをし，負けた人は勝った人と同色の帽子をかぶる．

(2)　$6$人が同色の帽子にならない場合，隣り合う異なる色の帽子をかぶった$2$人ずつが組を作り，各組でジャンケンをし，負けた人は勝った人と同色の帽子をかぶる．（両隣が自分と同色の帽子の人はジャンケンをしない．）

(3)　ゲームは，$6$人の帽子が同色になれば終了とし，それまで何回か(2)を繰り返す．

　このとき，$n$回までにゲームが終了する確率を求めよ．ただし，ジャンケンでは一方が勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$で勝負がつくものとする．

【５】(1)　$4$面体$\mathrm{PQRS}$が，$\mathrm{\angle PQR}=\mathrm{\angle RQS}=\mathrm{\angle SQP}=90\mathrm{°}$および$\mathrm{PR}=\mathrm{PS}=a$（定数)をみたすとき，このような$4$面体の体積の最大値を求めよ．

(2)　$4$面体$\mathrm{ABCD}$が，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}=a$（定数）をみたすとき，このような$4$面体の体積の最大値を求めよ．

【１】　座標平面上で，点$(4,5)$を通る直線が放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$と$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わっているとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となるような直線の傾きと，そのときの線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

【２】　空間の，同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を考える．線分$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CO}$の上にそれぞれ点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4$があって${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$が平行$4$辺形をなすものとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)

$\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}\right|:\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1\mathrm{A}}\right|=k:(1-k)$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{P}}_2}\right|:\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_2\mathrm{B}}\right|=(1-l):l$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{B}{\mathrm{P}}_3}\right|:\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_3\mathrm{C}}\right|=m:(1-m)$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{C}{\mathrm{P}}_4}\right|:\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_4\mathrm{O}}\right|=(1-n):n$

とすれば，$k=l=m=n$であることを示せ．ただし，$\left|\right|$はベクトルの大きさを表わす．

(2)　平行$4$辺形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$の対角線の交点は，線分$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{AC}$のそれぞれの中点を結ぶ線分上にあることを示せ．

【３】　$k$は定数，$m$は$1$つの自然数とする．$x>0$のとき，つねに$x^m-1\leqq k(x^{m+1}-1)$であるならば，$k={\displaystyle \frac{m}{m+1}}$であることを示せ．

【５】　$\mathrm{A}$君がおみくじを引く．$N$回引いても「大吉」が出なければ打ち切ってやめる．もし$N$回までに大吉が出ればその回でやめることにした．ただし，$N$は$2$以上の定まった自然数とする．

　$\mathrm{A}$君が$1$回ごとに大吉を引く確率を$p$とする．このとき$\mathrm{A}$君がおみくじを引くのをやめるまでの回数の期待値（平均ともいう）$E$は$E={\displaystyle \frac{1-{(1-p)}^N}{p}}$と表わされることを示し，$p={\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}$$N=10$のときの$E$の値を小数第$2$位まで求めよ．

【６】　次の不等式を証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$0<a\leqq x$のとき${\displaystyle {\int }_a^x}{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathit{dt}\leqq {\displaystyle \frac{1}{a}}{e}^{-\frac{a^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

(2)　$3<b$のとき${\displaystyle {\int }_3^b}{e}^{-\frac{t^2}{2}+2t}\mathit{dt}<e^{\frac{3}{2}}$