1982　共通一次試験　本試験MathJax

【１】

(1)　$x$の方程式

${(x+{\log }_{2}a)}^2=16x$

が異なる$2$つの実数解をもつような$a$の範囲は

$0<a<\boxed{\text{アイ}}$

である．

【１】

(2)　${\displaystyle \frac{1}{2}}<\sin x$と$3<x<\theta$を同時に満たす$x$の集合が空集合にならないような$\theta$の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\pi <\theta$

である．

【１】

(3)　$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{Z}$は集合とする．命題

「$\mathrm{X}\subseteq \mathrm{Y}\cup \mathrm{Z}$ならば$\mathrm{X}\subseteq \mathrm{Y}$または$\mathrm{X}\subseteq \mathrm{Z}$」

を$\mathrm{P}$で表し，その逆および対偶をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$で表す．命題$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$それぞれについて，真のときには$\overline{)\text{0}}$を，偽のときには$\overline{)\text{1}}$をマークせよ．

$\mathrm{P}\cdots \boxed{\text{カ}}\text{，}$$\mathrm{Q}\cdots \boxed{\text{キ}}\text{，}$$\mathrm{R}\cdots \boxed{\text{ク}}$

【２】　半径${\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$の円に内接する二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2$とする．また，$\mathrm{A}$を通るこの円の直径を$\mathrm{AD}$とする．このとき

(ⅰ)　

$\sin \angle \mathrm{BAD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}}\text{，}$$\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}}\text{，}$

$▵\mathrm{ABC}\text{の面積}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

(ⅱ)　さらに，線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{N}$とするとき

$▵\mathrm{AMN}\text{の面積}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}$$\mathrm{MN}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サシス}}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$

である．

【３】　$k$を実数とし

• $f(x)=x^3-2x^2-5x+6$
• $g(x)=x^3+k^2{x}^2+2kx-16$

とする．

(ⅰ)　$f(x)$を因数分解すると

$f(x)=(x+\boxed{\text{ア}})(x-\boxed{\text{イ}})(x-\boxed{\text{ウ}})$

となる．

(ⅱ)　$f(x)$と$g(x)$の最大公約数の次数が$1$以上ならば，$k$の値は

$\boxed{\text{エオ}}\text{，}$$\boxed{\text{カキ}}\text{，}$$\boxed{\text{クケ}}$

のいずれかである．

(ⅲ)　$f(x)$と$g(x)$の最大公約数が$2$次式ならば

$k=\boxed{\text{コサ}}$

であり，その最大公約数は

$(x+\boxed{\text{シ}})(x-\boxed{\text{ス}})$

である．

【４】　$xy$平面において，方程式

$x^2+y^2-8x-4y=a^2-20$$\text{（}a>0\text{）}$

が表す図形を$C$とする．

(ⅰ)　$C$は

点$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$を中心とする半径$\boxed{\text{ウ}}$

の円である．

(ⅱ)　原点を$\mathrm{O}$とし，円$C$上に点$\mathrm{A}(4,2-a)$をとる．また，平面上の点$\mathrm{P}$に対して

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=2\overrightarrow{\mathrm{OP}}+3\overrightarrow{\mathrm{OA}}$

となる点$\mathrm{Q}$をとる．点$\mathrm{P}$が円$C$上にあるとき，点$\mathrm{Q}$はつねに

点$(\boxed{\text{エオ}},\boxed{\text{カキ}}-\boxed{\text{クケ}})$を中心とする半径$\boxed{\text{コサ}}$

の円の上にある．

【５】　ジャンケンを$3$人でして，負けた者から順に抜けてゆき，最後に残った$1$人を優勝者とする．このとき

(ⅰ)　$1$回で優勝者が決まる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(ⅱ)　$1$回終了後に$2$人残っている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(ⅲ)　$3$回終了後に$3$人残っている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$である．

(ⅳ)　ちょうど$3$回目で優勝者が決まる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$である．

　ただし，各人がジャンケンでどれを出す確率もすべて同じで，${\displaystyle \frac{1}{3}}$であるとする．