1985　共通一次試験　本試験MathJax

【１】　$4$点$\mathrm{A}$$(1,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(5,8)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(12,0)$がある．線分$\mathrm{AB}$上の動点$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{CD}$上の動点$\mathrm{Q}$に対し，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{S}$とする．このとき点$\mathrm{S}$の存在する範囲は，$4$点

${\displaystyle \mathrm{K}(\frac{5}{2},\boxed{\text{アイ}})\text{，}}$${\displaystyle \mathrm{L}(\frac{1}{2},\frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}})\text{，}}$${\displaystyle \mathrm{M}(\frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}},\frac{3}{2})\text{，}}$${\displaystyle \mathrm{N}(\frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サ}}},4)}$

を頂点とする四角形の周および内部である．そして四角形$\mathrm{KLMN}$の面積は$\boxed{\text{シス}}$である．

【２】　単位円$x^2+y^2=1$上に$3$点$\mathrm{P}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{R}$$(a,b)$がある．点$\mathrm{R}$は第$1$象限内にあり，線分$\mathrm{PR}$の長さ$\overline{\mathrm{PR}}$が$1$である．

　このとき，

$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{アイ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

であり，

$\overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{\boxed{\text{キク}}}\text{，}$$\overline{\mathrm{QR}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ケコ}}}-\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}}{2}}$

である．また，

$\cos \angle \mathrm{PQR}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{スセ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}$$▵\mathrm{PQR}\text{の面積}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{タチ}}}-\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

である．

【３】

(1)　$x$軸と$y$軸に接し，点$(-4,2)$を通る二つの円のうち，半径の小さい円の方程式を

$x^2+y^2+lx+my+n=0$

とすれば，

$l=\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$m=\boxed{\text{ウエ}}\text{，}$$n=\boxed{\text{オカ}}$

である．

【３】

(2)　二次関数$f(x)=x^2+ax+3$について，

(ⅰ)　すべての$x$に対し$a\leqq f(x)$であるための$a$の範囲は，

$\boxed{\text{キク}}\leqq a\leqq \boxed{\text{ケコ}}$

である．

(ⅱ)　$-2\leqq x\leqq 2$であるすべての$x$に対し$a\leqq f(x)$であるための$a$の範囲は，

$\boxed{\text{サシ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{スセ}}$

である．

【４】　原点$\mathrm{O}$および点$\mathrm{A}$$(1,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,5)$を考える．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$

となる．

(ⅱ)　直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$

となる．

(ⅲ)　$\mathrm{Q}$が直線$\mathrm{AB}$上の点で，$\overrightarrow{\mathrm{QC}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に平行であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$

となる．

【５】　$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(5,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,5)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BO}$をそれぞれ$2:3$に内分する点を${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{O}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1$とする．同様に三角形${\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$の辺${\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1{\mathrm{O}}_1$をそれぞれ$2:3$に内分する点を${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{O}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2$とする．このような操作を$n$回行なってできる点${\mathrm{A}}_n\text{，}$${\mathrm{O}}_n\text{，}$${\mathrm{B}}_n$を頂点とする三角形${\mathrm{O}}_n{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$を考える．

(ⅰ)　三角形${\mathrm{O}}_2{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2$の頂点の座標は，

${\mathrm{A}}_2{\displaystyle (\frac{\boxed{\text{アイ}}}{5},\frac{\boxed{\text{ウ}}}{5})}\text{，}$${\mathrm{O}}_2{\displaystyle (\frac{\boxed{\text{エ}}}{5},\frac{\boxed{\text{オ}}}{5})}\text{，}$${\mathrm{B}}_2{\displaystyle (\frac{\boxed{\text{カ}}}{5},\frac{\boxed{\text{キク}}}{5})}$

である．

(ⅱ)　三角形${\mathrm{O}}_n{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$の面積を$S_n$とするとき，数列$S_1\text{，}$$S_2\text{，}\cdots$は初項が${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}$公比が${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$の等比数列である．

(ⅲ)　点${\mathrm{O}}_{2n}$の$x$座標を$x_{2n}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$とし，$x_0=0$とすると，

$x_{2n}-x_{2n-2}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}\right)}^{n-1}$

である．

【６】　動点$\mathrm{P}$が正五角形$\mathrm{ABCDE}$の頂点$\mathrm{A}$から出発して正五角形の周上を動くものとする．$\mathrm{P}$がある頂点にいるとき，$1$秒後にはその頂点に隣接する$2$頂点のどちらかにそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で移っているものとする．

(ⅰ)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$3$秒後に$\mathrm{E}$にいる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$4$秒後に$\mathrm{B}$にいる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}}$である．

(ⅲ)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$4$秒後に$\mathrm{A}$にいる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

(ⅳ)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$8$秒後に$\mathrm{A}$いる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コサシ}}}}$である．