1985　京都大学　文科系・理科系MathJax

【１】　実数$p\text{，}$$q$$\text{（}q>0\text{）}$に対して，下の$2$条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たす三角形$\mathrm{ABC}$が存在するための必要十分条件を求めよ．

(ⅰ)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=q$

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=p$

　ただし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を表す．

【２】　平面上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$と$1$次変換$f$について，下の$3$条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を仮定する．

　このとき，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のうち$f$によって動かないものは，$1$つあって，$1$つに限ることを示せ．

【３】　$b\text{，}$$c$は実数とし，$x^2+2bx+c=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．

(1)　$b^2-c<0\text{，}$$b\ne 0$とすれば，いかなる複素数$\gamma$に対しても$\gamma =t\alpha +u\beta$となる実数$t\text{，}$$u$が存在することを示せ．

(2)　$f(x)=x^2+2(b-1)x+5-c$とおくとき，次の条件(＊)を満たす点$(b,c)$全体の集合$D$を決定し，図示せよ．

(＊)　$t\text{，}$$u$がともに実数なら，$f(t\alpha +u\beta )\ne 0$

【４】　$f(x)$は多項式で，曲線$y=f(x)$の点${\mathrm{P}}_1$$(x_1,f(x_1))$における接線は${\mathrm{P}}_2$$(x_2,f(x_2))$における接線に一致し，その共通接線の方程式を$y=g(x)$とする．ただし，$x_1\ne x_2$

(1)　このとき，多項式$f(x)-g(x)$は${(x-x_i)}^2$で割り切れる$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{）．}$その理由を，微分係数および接線の定義に即して述べよ．

(2)　$f(x)$が$4$次式で，$x^4$の係数は$1\text{，}$$x^3$の係数は$0$であるとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積$S$を$x_1$を用いて表せ．

【５】　正六角形の頂点を反時計まわりの順に，${\mathrm{A}}_0\text{，}$${\mathrm{A}}_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_5$とし，次のルール(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)に従ってゲームを行う．

(ⅰ)　${\mathrm{A}}_0$を出発点とする．

(ⅱ)　コインを投げ，表が出たら反時計まわりに隣の頂点に移動し，裏が出たら，時計まわりに隣の頂点に移動する．

(ⅲ)　${\mathrm{A}}_0$の反対側の頂点${\mathrm{A}}_3$に到達したらゲームは終了する．

　整数$n$$\text{（}n\geqq 0\text{）}$に対して，

$p_n=(2n+1)$回コインを投げ移動を行ってもゲームの終了しない確率

$q_n=$ちょうど$(2n+1)$回目の移動によってゲームの終了する確率

とする．コインを投げたとき，表裏の出る確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ずつである．$p_n$および$q_n$を求めよ．

【４】　実数$r$$\text{（}r>0\text{）}$に対して，下の方程式$\text{①}$の定める球面と，$\text{②}$の定める平面の共通部分を$D$とする．

$\text{①}$　$x^2+y^2+z^2={\displaystyle \frac{1}{3}}(r^2+2)$

$\text{②}$　$x+y+z=r$

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がともに$D$に属すれば，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|\leqq 2\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$が成り立つことを示せ．

(2)　$r$が自然数のとき，連立方程式$\text{①}\text{，}$$\text{②}$の整数解を決定せよ．

【５】　$2$枚の硬貨があり，$1$枚ずつ投げたとき表の出る確率をそれぞれ$a\text{，}$$b$とする．$2$枚同時に投げたとき，表の出た硬貨の枚数を$X$とする．従って，確率変数$X$は値$0\text{，}$$1\text{，}$$2$をとり，その確率分布は$a\text{，}$$b$により定まる．逆に$X$の分布を指定したとき，その分布を与えるような$a\text{，}$$b$の値が存在するかどうか，また存在する場合には，どれだけあるか，次の$2$つの場合について答えよ．

(1)　$X$は$2$項分布，すなわち

$P(X=k)={}_{2}C_k{p}^k{(1-p)}^{2-k}$$\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{）}$

ただし，$p$$\text{（}0<p<1\text{）}$はあらかじめ指定した定数である．

(2)　$X$は一様分布，すなわち

$P(X=k)={\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{)}$

【６】　定数$a$$\text{（}a\geqq 0\text{）}$および$b$が与えられている．$x\geqq 0$で定義された関数$y=f(x)$で，下の2条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすものを決定せよ．

(ⅰ)　$f(x)$は$x\geqq 0$で連続，$x>0$で微分可能

(ⅱ)　$b{\displaystyle {\int }_a^x}f(t)\mathit{dt}=xf(x)$