1989　電気通信大学MathJax

【１】　$xy$平面の$2$点$\mathrm{P}(p,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,q)$を通る直線$l$を考える．ただし，$p>0\text{，}q>0$とする．原点から直線$l$におろした垂線の足を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{R}$に，点$\mathrm{R}$を点$\mathrm{Q}$に移す$1$次変換を$f$とする．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{R}$の座標を$p\text{，}q$で表せ．

(3)　$1$次変換$f$を表す行列を求めよ．

【２】　区間$0\leqq x\leqq \pi$において，関数$f(x)=\sin x+\cos x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2x$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$が，$a_n={\displaystyle {\int }_{-1}^1}{(1-x)}^2{(1+x)}^{n}dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で与えられている．このとき次の問いに答えよ．

(1)　和$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{2^k}}{a}_k$を求めよ．

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【４】　$xyz$空間の$2$点$\mathrm{P}(0,0,1)\text{，}\mathrm{Q}(t,t^2-1,-t^2)$を通る直線が$xy$平面と交わる点を$\mathrm{R}$とする．ただし$t$は実数とする．

(1)　点$\mathrm{R}$の$x$座標および$y$座標を$t$で表せ．

(2)　$t$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{R}$が$xy$平面上で描く図形を求めよ．

【５】　次のと問いに答えよ．

(1)　関数$y=\log {\displaystyle \frac{x+1}{1-x}}\text{（}-1<x<1\text{）}$のグラフは原点に関して点対称であることを示せ．

(2)　関数$y=\log {\displaystyle \frac{x-a}{b-x}}\text{（}a<x<b\text{）}$のグラフはその変曲点に関して点対称であることを示せ．

【６】　曲線$y=x\sqrt{1-x^2}\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$を$C$とし，直線$y=ax$を$l$とする．また曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．

(1)　図形$D$の面積を求めよ．

(2)　直線$l\text{，}$曲線$C$が原点以外の共有点をもつような$a$の範囲を求めよ．

(3)　直線$l$が図形$D$を$2$つの部分に分ける．$l$の上側にある部分の面積を$S\text{，}$下側にある部分の面積を$T$で表す．このとき，${\displaystyle \frac{S}{T}}={\displaystyle \frac{5}{11}}$となるような$a$の値を求めよ．