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1989-10483-0101
1989 名古屋工業大学
易□ 並□ 難□
【1】 空間の点 Pt ( t3, 1-t2 ,3 ⁢t2 ) を x 軸のまわりに θ だけ回転した点 Qt から x y 平面にひいた垂線の足を Ht とする. t が 0 から 1 まで変わるとき Ht の描く曲線 C ⁡(θ ) の長さ L ⁡(θ ) の最大値と最小値を求めよ.
1989-10483-0102
【2】 次の 3 つの条件を満たす関数 f ⁡(x ) を求めよ.
d dx ∫0x ( x-t) ⁢f″⁡ (t) ⁢dt= log⁡( x+1) , ∫01 f′ ⁡(t )⁢f ″⁡( t)⁢ dt=0 , f⁡ (0) =0
1989-10483-0103
【3】 原点を O とする座標空間において,次の問いに答えよ.
(1) 原点と異なる点 P が集合
K= {( x,y,z ): x≧0 ,y≧0 , z≧0 }
内を動くとき, P から直線 x =y=z にひいた垂線の足 P′ に対して比 | OP′ → | | OP→ | の最小値を求めよ.
(2) m 個の点 P1 , P 2 ,⋯ , P m が K 内にあるとき,不等式
| OP1→ |+ | OP2→ |+ ⋯+| OPm →| ≦3 ⁢| OP1 →+ OP2→ +⋯+ OPm →|
が成り立つことを示せ.
(3) 空間内に n 個の点 A1 , A 2 ,⋯ , An が与えられたとき,不等式
| OA1→ |+ | OA2→ |+ ⋯+| OAm →| ≦8⁢ 3 ⁢| OAi1 →+ OAi2 → +⋯+ OAik →|
が成り立つような, {1 ,2,⋯ ,n} の部分集合 { i1, i2, ⋯,i k} が選べることを示せ.
1989-10483-0104
【4】 座標空間内の図形
{( x,y, z): x2+ y2+ z2≦ 1} ∩ {( x,y,z ):x +y+a⁢ z=1 }
を x 軸のまわりに回転してえられる回転体の体積 V ⁡(a ) の最大値を求めよ.ただし, a≧0 とする.